- •01.Понятия функции и переменных, предел, непрерывность. Теоремы о непрерывных функциях.
- •02. Частные приращения и производные. Полный и частный дифференциал
- •03. Производная сложной функции
- •04. Производная по направлению
- •05. Градиент. Физический смысл.
- •06. Старшие производные и дифференциалы. Смешанные производные.
- •07. Формула Тейлора (одна из важнейших формул)
- •08. Экстремум функции нескольких переменных
- •09. Экстремум функции n-переменных
- •11. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения
- •12. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и сводящимися к ним.
- •13. Однородные дифференциальные уравнения
- •17. Дифференциальные уравнения старшего порядка.
- •15. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- •16. Интегрирующий множитель
- •14. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •24. Теория устойчивости и асимптотическая устойчивость
- •23. Системы дифференциальных уравнений. Структура решения
- •10. Понятие условного экстремума.
- •20. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Специальная правая часть
- •19. Однородные линейные дифференциальные уравнения. Структура решения. Вронскиан.
- •18. Дифференциальное уравнение, допускающее понижение порядка
10. Понятие условного экстремума.
Условие вида: фи(x1,x2,…,xn)=Ci-условие связи
ОПР. Точка (x1^0, x2^0,…, xn^0) называется точкой условного экстремума, если
функция f(x1,x2,…, xn)=>или<=f(x1^0,x2^0,…, xn^0)=> для любых (x1,x2,…,xn), удовлетворяющих условиям связи
точка (x1^0, x2^0,…, xn^0) удовлетворяет условиям связи
Методы решения задач на условный extr:
Сведение к задаче на абсолютный extr
Метод множителей Лагранжа.
20. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Специальная правая часть
Дано: pn(x)Y^(n) + pn-1(x)y^(n-1) + … + p1(x)y` + p0(x)y = f(x) (1)
Теорема. Пусть y1,y2,…,yn – ЛНЗ решения неоднородного ЛДУ, полученные из уравнения (1). Пусть y* (звездочка снизу) – частное решение уравнения (1). Тогда, любое решение уравнения (2) y=Е(сумма)[i=1] ci * yi + (????)
Определение. Решение y1,y2,…, yn называется фундаментальной системой уравнения (2)
19. Однородные линейные дифференциальные уравнения. Структура решения. Вронскиан.
Определение. Линейным дифференциальным уравнением n-ного порядка называется pn(x)*y^(n) + pn-1(x)*y^(n-1) + … + p1(x)*y^1 + p0(x)*y = f(x)
Определение. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами any^(n) + an-1*y^(n-1) + … + a1y` + 10y = f(x)
Определение. Однородным линейным дифференциальным уравнением называется pn(x)*y^(n) + pn-1(x)*y^(n-1) + … + p1(x)*y` + p0(x)*y = 0
Лемма. 1) Если y(x) – решение однородного линейного дифференциального уравнения, то а(альфа)(х)у(х) – тоже будет решением. 2) Если у1(х)у2(х) – решение о.л.д.у. => у1+у2 – решение.
Доказательство. (Обозначения: а-альфа)
1) n=2
p2(x)y`+p1y`+p0y = 0
p1(ay)``+p1(ay)`+p0ay = 0
p2(a``y + 2a`y` + ay``) + p1(a`y+ay`) + p0ay = 0
(Обозначения: А=а)
Аny^n + An-1y^(n-1) + … + A1y` + A0y = 0
=> An(ay)^n + An-1(ay)^(n-1) + … + A1(ay`) + A0(ay) =
т.к. а(альфа) выносится => ау – решается из следствия
Определение. Система функций y1(x), y2(x)… yn(x), заданная на [a,b] называется линейно-независимой на [a,b], если не существуют ненулевые коэффициенты a(альфа). а1y1 + a2y2 + … anyn для любого х на [a,b]
Определение. Если существуют не все равные нулю коэффициенты а a1y1 + a2y2 + … = 0 для любого х на [a,b], то y1, y2, yn – называются ЛЗ на [a,b]
Определение. y1, y2, yn – (n-1) раз дифференцируемая функция на [a,b] Вронскианом системы y1, y2 … yn называется определителем W.
Теорема. Если y1, y2, …, yn – ЛЗ система на [a,b] => W(y1,y2,yn) =0 для любого х на [a,b]
Доказательство. По условию a1y1 + a2y2 + … + a
nyn =0. Продифференцируем (n-1) это равенство.
{ a1y1 + a2y2 + … +anyn = 0
{ a1y`1 + a2y`2 + … + any`n = 0
{ …
{ a1y1^(n-1) + a2y2^(n-1) + … + anyn^(n-1) = 0
Система имеет ненулевое решение => Определитель det=0; Коэффициент = y1y2…; Неизвестные – a1,a2
=> det = | y1 y2 yn |
| y`1 y`2 y`n |
| y1^(n-1) y2^(n-1) yn^(n-1) | = 0
Теорема. Если y1,y2,… yn – ЛНЗ на [a,], то => W(y1,y2,yn)<>0 при любом х на [a,b]
Теорема (решение однородного линейного дифференциального уравнения). Пусть y1,y2,…,yn – ЛНЗ решения pn(x)*y^(n) + pn-1(x)*y^(n-1) + … + p1(x)*y` + p0(x)*y = 0. Тогда любое решение этого уравнения может быть представлено в виде линейных комбинаций n-решений.
y=Е(сумма)[n, i=1] ci*yi; ci=