14. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Дифференциальное уравнение вида y`+P(x)y=Q(x) называют линейным дифференциальным уравнением.

Пример: y`+sinx y=x^2

Решение. Рассмотрим однородное линейное уравнение (Q(x)=0)

y`+P(x)y=0

dy/dx=-P(x)y

S dy/y= -S P(x) dx

ln y = -S P(x) dx+c

y=ce^(-S P(x)dx)

Решим методом вариации произвольной постоянной

c=u(x), т.е. y=u(x)*e^(-S P(x) dx)

[u*e^(-S Pdx)]`+- P(x)u e^(-S Pdx) = Q(x)

u`*e^(-S Pdx)+u*e^(-S P(x)dx) * (-P(x)ue^(-S Pdx)=Q(x)

u`*e^(-S P(x)dx) = Q(x)

u`=Q(x)*e^ (S P(x)dx)

u=S Q(x)e^(S P(x)dx) dx + c

y=(y0+S Q(x)e^(S P(x)dx) dx) * e^(-S P(x)dx)

Метод Бернулли

y`+P(x)y=Q(x)

y=uv => u`v+uv`+P(x)uv=Q(x)

u`v+u(v`+P(x)v)=Q(x)

v`+P(x)v=0 => u`*e^(-S P(x)dx)=Q(x)

Уравнение Бернулли

Определение. Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение вида y`+P(x)y=Q(x)*y^n

Сведем к уравнению: z=y^1-n; y=z^[1/(1-n)]

y`=1/(1-n) *z^[1/(1-n) -1] *z`=1/(1-n) *z^[1/1-n)] *z`

1/(1-n) *z^[n/(1-n)]*z` + P(x)*z^[1/(1-n)]=Q(x) *z^[n/(1-n)] *z^[-n/(1-n)]

1/(1-n) *z` + P(x) *z^[1/(1-n) – n/(1-n)] = Q(x) =>

=> 1/(1-n) *z` + P(x)z = Q(x) – линейное дифференциальное уравнение

24. Теория устойчивости и асимптотическая устойчивость

y`=f(x,y) }

y(x0)=y0 } -> y – решение

y`=f(x,y) }

y(x0)=y0 (вектор) } -> y(вектор) – решение

Определение. { Fj (t,xi,xi(с точкой))=0 <- система

i=1..n; j=1..k

xi(to)=xio

Решение (x1,x2,..,xn) [вектора] системы называется устойчивым по Ляпунову, если для любого E(кругла)>0 существует b>0 : |xi (to) – xi[вектор] (to) | < E => |xi (t) – xi[вектор] (t) | <E при любом t=>to

(x1,x2,..,xn) фиксированное решение

Асимптотическая устойчивость

Определение. Если решение (x1,x2,..xn) системы дифференциальных уравнений {Fj (1,xi,xi c точкой)=0 ; xi(to)=xio

1) Устойчиво по Ляпунову

2) lim (t->+бесконечности) | x(t) – x [вектор] (t) | = 0, тогда решение (x1,x2,..,xn [вектора]) называется асимптотически устойчивым.

23. Системы дифференциальных уравнений. Структура решения

{ x1 = a11(t)x1 + a12(t)x2 + … + a1m(t)xm + f1(t)

{ x2 = a21(t)x1 + a22(t)x2 + … + a2m(t)xm + f2(t)

{ xm = am1(t)x1 + am2(t)x2 + … + amm(t)xm + fm(t)

Определение. Система дифференциальных уравнений вида X-AX=F называется неоднородной. X=AX – однородная система

Определение. Оператор L(x)=X-AX

L(x)=F – неоднородный, L(x)=0 – однородный

Лемма. x,y – решение L(x)=0 => a(альфа)х + b(бета)y – тоже решение L(x)=0 (однородная система линейных дифференциальных уравнений)

Определение. x1,x2,…,xn – векторы из функций

xi=(xi1, xi2, xin)

xij=xij(t)

W(x1,x2,…,xn)=( x11 x12 … xn1 )

( x21 x22 … xn2 )

( xn1 xn2 … xnn)

Теорема. Если x1,x2,…,xn линейно зависимы <=> W(x1,x2,…,xn)=0

Теорема (о структуре решения). L(x)=F

Пусть х1,х2,…xn – линейно независимые решения системы L(x)=0, x* - частное решение неоднородной системы L(x)=F => Все решения (общее решение) L(x)=F будет иметь вид x = c1x1 + c2x2 + … cnxn + x*, ci э R.

Система линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентом.

A=(aij); aij э R.

Рассмотрим X=AX Предположим, то л1, л2,… лn – собственные числа А (с учетом кратности и комплексности чисел).

|A-лE| = 0

1. л1, л2, …, лn – вещественные числа кратности 1 => V1, V2, … , Vn – n ЛНЗ собственных векторов. (AV=лV) => x1=e^(л1t) *V1, x2=e^(л2t) *V2

2. л=А+Вi – комплексное собственное число => л=А-Вi – корень

От комплексных решений можно перейти к вещественным.

3. л – кратное собственное число кратности S => x=(Vo+ V1t + … + V(s-1)t^(s-1)) *e^лt