05. Градиент. Физический смысл.

Обозначения. a=&f/&x, b=&f/&y, c=&f/&z. &-изогнутая d.

По какому направлению функция возрастает быстрее всего?

Когда производная максимальна?

&f/&l = a* cos a(альфа) + b* cos b(бета) + с* cos y (гамма) =

= sqrt (a^2 + b^2 + c^2) * ( [a / sqrt (a^2 + b^2 + c^2)]*cos a(альфа) + [ b / sqrt (a^2 + b^2 + c^2) ]*cos b(бета) + [ c / sqrt (a^2 + b^2 + c^2) ]*cos y(гамма) =

= [sqrt (a^2 + b^2 + c^2)] * (cos (лямбда)*cos a(альфа) + cos (мю)* cos b(бета) + cos (ню)*cos y(гамма)

[cos(лямбда), cos(мю), cos(ню)] – направляющая некоторого вектора

sqrt (a^2 + b^2 + c^2)(g[вектор]*l[вектор]) -> когда это произведение (скалярное) максимально?

При каком l[вектор] скалярное произведение (g[вектор],l[вектор]) максимально?

Вывод: Производная &f/&l будет максимальна по направлению l[вектор] равному g[вектор], l[]=g[]= [ 1/ sqrt (a^2 + b^2 + c^2)]* {&f/&y * &f/&y * &f/&z }.

Определение. Градиентом функции f(x,y,z) в точке M0(x0,y0,z0) наз. вектор grad f(Mo) = ( &f/&x (Mo), &f/&y (Mo), &f/&z (Mo) ).

@ - перевернутый треугольник – НАБЛА.

d – обычный треугольник

@f(Mo) = grad f (Mo). d(@f).

06. Старшие производные и дифференциалы. Смешанные производные.

Обозначение: & - изогнутая d.

z=f(x,y)

Производная второго порядка:

&^2 z/&x^2 = &/&x (&z/&x) = z``(xx)

&^2 z/&y^2 = &/&y (&z/&y) = z``(yy)

Смешанные производные.

&^2 z/&x&y = &/&x (&z/&y) = z``(xy)

&^2 z/&y&x = &/&y (&z/&x) = z``(yx)

Теорема. 1) f(x,y) определена в некоторой окрестности

2) существует f``(xy), f``(yx) в точке (x0,y0)

3) непрерывные f``(xy), f``(yx) в точке (x0,y0) => f``(xy)(x0,y0)=f``(yx)(x0,y0)

Дифференциалы старших порядков

Обозначение: d – просто d

z=f(x,y)

df=f`x dx + f`y dy

d^n f = d(d^(n-1) f)

d^2 f = d(df) = d(f`x dx + f`y dy) = d(f`x dx) + d(f`ydy) = f``xx dx^2 + f``xy dxdy + f``yx dydx + f``yy dy^2 = f``x^2 dx^2 + 2f``xy dxdy + f``y^2)dy^2.

d^3 f = f```x^3 + 3f```x^2y dx^2dy + 3f```xy^2 dxdy^2 + f```y^3 dy^3.

(uv)=u`v+uv`

u``v+2u`v`+uv``

u```v+3u``v`+3u`v``+uv```

07. Формула Тейлора (одна из важнейших формул)

1. Рассмотрим f(t) = f(t0) + f`(t0)*(t-t0) + f^n (t0) /2!*(t-t0)^2 + f```(t0)/3!*(t-t0)^3 +…+ f^(n) (t0)/n! (t-t0)^n + f^(n+1) (t0)/ (n+1)! (t-t0)^n+1

Обозначения. d – просто d, $ - треугольник

$t=t-t0, 0<Q<1.

$f(t0) = f(t) – f(t0)

$f(t0) = df(t0) + ½ d^2 f(t0) + … + 1/n! d^n f(t0) + 1/(n+1)! d^n+1 f(t0 + Q$t) в дифференциальном виде.

2. z=f(x,y) – получим формулу Тейлора в точке (x,y).

$f (x0,y0) = f(x,y) – f(x0,y0)

$x=x-x0, $y=y-y0.

Введем F(t)=f(x0+t$x, y0+ t$y), F(0)=f(x0,y0), F(1)=f(x,y)

$f(x0,y0) = F(1) – F(0) = $F(0) – ряд Тейлора в точке t0=0 при t=1

= d F(0) + ½ d^2 F(0) + … + 1/n! d^n F(0) + 1/(n+1)! d^n+1 F(0) = df(x0,y0) + ½ d^2 f(x0,y0) + … + 1/n! d^n f(x0,y0) + 1/(n+1)! d^n+1 f(x0+Q$t, y0+Q$t)

=> f(x,y) = f(x0,y0) + f`x (x0,y0) $x + f`y (x0,y0) $y + ½ (f``x^2 (x0,y0)($x)^2) + 2f``xy(x0,y0) $x$y + f``y^2 (x0,y0)($y)^2 +…

08. Экстремум функции нескольких переменных

Определение: Точка (x0,y0) называется точкой максимума (минимума) функции f(x,y), если существует некоторая окрестность в точке V(x0,y0), такая что любая (x,y) принадлежащая V(x,y), f(x,y)<=f(x0,y0), (соответственно для минимума: f(x,y)=>f(x0,y0) ).

Теорема 1. (Необходимое условие экстремума): Если точка (x0,y0) является точкой экстремума функции f(x,y), то { f`x (x0,y0)=0, f`y (x0,y0) =0

Замечание: Данная система равносильна <=> df (x0,y0)=0 (здесь просто d)

Доказательство. Зафиксируем переменную y`.

Фy(x) = f(x,y) при фиксированной y.

т.к. точка (x0,y0) – точка экстремума функции Фy(x).

Фy(x0) => Фy(x), т.к. F(x0,y0) =>(больше-равно) f(x,y) => Ф`y (x0)=0 => f`x (x0,y0)=0

Аналогично, Ф`x(y0) => f`y(x0,y0)=0

Теорема 2. (Достаточное условие экстремума). Пусть f`x (x0,y0)=0, f`y (x0,y0)=0, т.е. точка (x0,y0) – стационарная (критическая).

Предположим, что существует f``xx, f``yy, f``xy, f``yx в точке (x0,y0)

а11= f``xx (x0,y0), a12= f``xy (x0,y0), a22= f``yy (x0,y0)

=> 1. Если а11а22 – а[^2]12>0, то экстремум в (x0,y0) существует

a11>0, в точке (x0,y0) – min; a11<0, в точке (x0,y0) – max.

2. Если a11a22-a[^2]12<0, то экстремум в точке не существует

3. Если a11a22-a[^2}12=0, то исследовать значение производной 3-го порядка.