01.Понятия функции и переменных, предел, непрерывность. Теоремы о непрерывных функциях.

Определение: Если в точках x0, y0 предел функции lim f(x,y)=f(x0,y0), то функция f(x,y) наз. непрерывной в точке (x0,y0).

Определение: Функция f(x,y) называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке.

ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЯХ.

Теорема: Если f(x,y) и g(x,y) непрерывны в точке x0, y0, то сумма и разность их непрерывна, их произведение тоже непрерывно, частное непрерывно, только если знаменатель не обращается в ноль.

- f(x,y)+-g(x,y) – непрерывна в точке (x0,y0)

- f(x,y)*g(x,y)

- f(x,y)/g(x,y) – непрерывна в точке (x0,y0), если g(x,y)<>0

- x=x(u,v); y=y(u,v) – непрерывны в точке (xo,yo)

=> f(x(u,v),y(u,v)) – непрерывна в точке (u0,v0), x0=x(u0,v0); y0=y(u0,v0)

Теорема Бальцано-Каши: Если в некоторой связной области D непрерывна функция f(x,y), такая, что f(x1,y1)<0, f(x2,y2)>0 => существует точка (x0,y0) принадлежащая D : f(x0,y0)=0.

Теорема Вейерштрассе: Если в некотором ограниченном замкнутом множестве D задана непрерывная функция f(x,y) => f(x,y) принимает наибольшее и наименьшее значения на D.

02. Частные приращения и производные. Полный и частный дифференциал

ЧАСТНЫЕ ПРИРАЩЕНИЯ.

d=delta (треугольник)

f=f(x,y); dx=x-x0, dy=y-y0 – приращения аргументов

(df(x)=f(x)-f(x0))

df=dxf(x0,y0) =f(x,y0)-f(x0,y0)=f(x0+dx,y0)-f(x0,y0)

df=dyf(x0,y0)=f(x0,y)-f(x0,y0)=f(x0,y0+dy)-f(x0,y0)

частные приращения по х, по у.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ.

&-изогнутая d.

[&f/&x](x0,y0)=lim(dx->0) [f(x0+dx,dy0)-f(x0,y0)/dx] = lim [dxf/dx]

[&f/&y](x0,y0)=lim(dy->0) [f(x0,y0+dy)-f(x0,y0)/dy) = lim [dyf/dy]

Если эти пределы существуют и конечны, то они называются частными пределами функции.

ЧАСТНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ.

d-просто d (здесь)

dx f = dx f(x0,y0)=f`x dx

dy f = dy f(x0,y0)=f`y dy

dx=dx, dy=dy (здесь – треугольник после равно)

ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ

df = df(x0,y0) = &f/&x(x,y) dx + &f/&y(x0,y0) dy

03. Производная сложной функции

f=f(x,y) x=x(f), y(f)

Предположим, что существует &f/&x, &f/&y в точке (x0,y0) x0=x(t0), y0=y(t0)

=> существует df/dt = (d/dt) * f(x(t),y(t)) | t=t0

df/dt = &d/&x * dx/dt + &f/&y*dy/dt.

Теорема. f=f(x,y), x=x(u,v), y=y(u,v)

Предположим, что существует (&f/&x) (x0,y0)

&f/&y (x0,y0), &x/&u (u0,v0), &y/&u, &x/&v, &y/&v (u0,v0)

=> f(x,y)=f(x(u,v), y(u,v))

&f/&u=&f/&x*&x/&u + &f/&y*&y/&v

Пример.

f(x,y)=x^2*y^3, x=u+v, y=u-2v

f=f(u,v)=(u+v)^2*(u-2v)^3

&f/&u=&f/&x*&x/&u + &f/&y*&y/&v=2xy^3*1+3x^2y^3*1

04. Производная по направлению

Определение. f=f(x,y), l-прямая, которая проходит через область задания функции. Рассмотрим точки M, M0 на l.

Если существует и конечный lim f(M)-f(M0)/|MM0|, то он называет производной по направлению.

Обозначения. [&f/&MM0] (M0), [&f/&l] (M0)

Определение. Пусть l-прямая в пространстве, тогда обозначим за a угол [l,OX], b(бета)=углу(l,OX), y(гамма)=углу(l,OZ). cos a, cos b, cos y – направляющие косинусы l (cos^2 a + cos^2 b + cos^2 y = 1).

Теорема о вычислении. Если существует &f/&x, &f/&y, &f/&z =>

[&f/&l] (M0) = [&f/&x] (M0)cos a + [&f/&y] (M0)cos b + [&f/&z] (M0)cos y.

Теорема. Производная по направлению вычисляется по формуле = [&f/&x] (M0)cos a + [&f/&y] (M0)cos b + [&f/&z] (M0)cos y.

Доказательство. l { x=x0+pt, y=y0+qt, z=z0+rt }

Пусть M0(x0,y0,z0) – координата точки, в которой мы считаем производную по направлению. [&f/&l] (M0) - ?

l [вектор] = l [вектор] (cos a, cos b, cos y)

=> l { x=x0+tcos a, y=y0+tcos b, z=z0+tcos y }

&f/&l (m)) = lim (t->0) [ f(M) – f(M0) / M0M ] =

= lim [ f(x0+tcosa, y0+tcosb, z0+tcosy) – f(x0,y0,z0)/ sqrt{ (tcosa)^2 + (tcosb)^2 + (tcosy)^2 } ] = lim [ Ф(t) – Ф(0) / t ] = Ф`(0) =

= &f/&x*dx/dt + &y/&y*dy/dt + &f/&z*dx/dt =

= &f/&x *cos a + &f/&y *cos b + &f/&z *cosy

Ф(t) – сложная функция.

Следствие. l [вектор] (p,q,r); &f/&l=

=(&f/&x *p + &f/&y *q + &f/&z *r) + [ 1/sqrt(p^2 + q^2 + r^2) ]

Доказательство. cos a = [ p /sqrt(p^2 + q^2 + r^2) ], cos b = [ q/sqrt(p^2 + q^2 + r^2) ]

cos y = [ r/sqrt(p^2 + q^2 + r^2) ]