09. Экстремум функции n-переменных

Теорема 1 (Необходимое условие). Пусть (x1^0, x2^0, …, xn^0) – точка экстремума.

ф, f (x1,x2,…,xn). Предположим, что существует f`x =>

{f`xi (x1^0, x2^0,…,xn^0) = 0

{f`xn(x1^0, x2^0,…,xn^0) = 0

Предположим, что f(x1,x2,…,xn) дважды дифференцируемый.

? Достаточность условия. Пусть (x1^0, x2^0,…,xn^0)

(Обозначение: d-треугольник)

f(x1,x2,…,xn) – f(x1^0, x2^0,…,xn^0)

f``x1x1 d [x1^2] + f``x2x2d [x1^2] + … + f``xnxn d [xn^2] + 2 [сумма] (n, i+j) f``xiyj d[xi] d[xj] + 0 (sqrt [d[x1^2] + … + d[xn^2])

11. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения

Введение.

Детерминирование – характеризуется классическая механическая, квантовая механика – не детерминированная.

Конечномерность – предполагает то, что состояние системы зависит от конечного числа параметров.

Дифференцируемость – состояние системы описывается дифференцируемой функцией.

Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется F9x,y,y`,y``,…,y^(n))=0.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, которая входит в это уравнения.

Определение. Решением дифференциального уравнения является функция у, при подстановке которой, уравнение верно.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

F(x,y,y`)=0. Предположим, что нам удалось выразить y`=f(x,y)

Определение. Решением дифференциального уравнения называется интегрированными кривыми. Решение вида y=ф(х,0) – общее решение.

Определение. Условие вида y(x0)=y0 называется начальным.

Определение. Решение, удовлетворяющее начальному условию, называется частным.

Задача Коши. y=y(x) - ? – является решением дифференциального уравнения?

{ y`=f(x,y); y(x0)=y0.

Теорема о существовании и единственности решения.

Предположим, что f(x,y) – 1) непрерывна на прямоугольнике с центром в точке (x0,y0). Непрерывна на множестве {(x,y) x0-a<=x<=x0+a, y0-b<=y<=y0+b }

2) Функция f(x,y) удовлетворяет условию Липичица (???) на прямоугольнике |f(x1,y1) ? f(x2,y2)| <= N |y1-y2|

Любые y1, y2 из прямоугольника

Следовательно, решение задачи Коши по этим предположениям существует и оно единственно.

Замечание: 2) можно заменить на 2`: |f`y (x,y)|<=N на прямоугольнике

12. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и сводящимися к ним.

Определение. Дифференциальное уравнение вида y`=f(x)g(y) называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Пример: y`=sqrt(x)*cos y – является; y`=ln(xy)

Метод решения. Производная может быть представлена, как

y`=dv/dx=lim(delta x->0) delta y/delta x

dy/dx=f(x)g(y)

Sdy/g(y)=Sf(x)dx => общий интеграл

Определение. Дифференциальное уравнение вида P1(x)Q1(y)dx+P2(x)Q2(y)dy=0 называется дифференциальным уравнением с раздельной переменной.

Лемма. Определение 1 эквивалентно Определению 2.

Доказательство. P1(x)Q1(y)dx+P2(x)Q2(y)dy=0

P2(x)Q2(y)dy – P1(x)Q1(y)dx :dx, :P2(x), :Q2(y)

dy/dx=-P1(x)/P2(x)*Q1(x)/Q2(y) => dy/dx=f(x)*g(y)

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к дифференциальным уравнениям с разделяющейся переменной.

Диф. уравнение вида y`=f(ax+by)

Сведем к z=ax+by.

y=1/b*z-a/b*x

y`=1/b*z`-a/b => 1/b*z1-a/b=f(z)

z`=b*f(z)+a*1

dz/dx=b*f`(z)+a

S dz/bf`(z)+a = S dx; S – интеграл