Задача №1

Задание: Решить уравнение f(x) = g(x) и исследовать функцию h(x) = f(x) – g(x) на промежутке [0; (5∙π)/6].

1.Зададим функции f(x) и g(x):

2.Зададим уравнение f(x)=g(x) и решим его с помощью функции «solve»:

Т.к. функции f(x) и g(x) периодичны, что видно из графика (см. ниже), и имеют период, равный 2π, т.к. данные функции задаются функциями sin и cos, то к каждому из решений данного уравнения прибавим аргумент 2πn, где n – целое число. Итак, данное уравнение имеет решения при:

+2πn; n ЄZ

3.Зададим функцию h(x)=f(x)-g(x):

Построим ее график на промежутке от -10 до 10.

Изменим промежуток на нужный нам для ее исследования (0;5π/6):

Найдем первую производную функции h(x) для нахождения экстремумов функции:

С помощью функции «solve» посчитаем значения, при которых график производной пересекается с осью x:

Построим график на промежутке (0;5π/6):

Данному промежутку удовлетворяет только значение π/3.

Данная функция имеет только один экстремум на промежутке (0;5π/6), что доказывает график производной. Найдем этот экстремум:

Максимум функции достигается в точке (1,047; 4)

Проверим функцию на четность: (если h(x) = h(-x) , тогда функция h(x) четная, в противном случае нечетная)

Данная функция не является четной, т.к. h(x) ≠ h(-x).

Найдем перегибы функции. Для этого нужно найти вторую производную функции h(x):

Вычислим вторую производную:

П остроим график второй производной:

Мы получили четыре значения, в которых график второй производной пересекает ось x, но лишь два из них входят в промежуток (0;5π/6). Эти значения являются началом и концом перегиба, т.е.:

Начало перегиба в точке x=0.111

Конец перегиба в точке x=1.983

Задача №2

Задание: Найти коэффициенты кубического сплайна, интерполирующего данные, представленные в векторах Vx и Vy (смотри приложение 1).

Построить на одном графике: функцию f(x) и функцию f1(x), полученную после нахождения коэффициентов кубического сплайна.

Представить графическое изображение результатов интерполяции исходных данных различными методами с использованием встроенных функций cspline(Vx,Vy), pspline(Vx,Vy), lspline(Vx,Vy) и interp(Vk,Vx,Vy,x).

Оценить погрешность интерполяции в точке x = 3,1. Вычислить значение функции в точке x = 2,1

x	y
0	3,0
1,25	2,925
2,0	3,75
2,625	3,72
4,25	4,444

Зададим векторы Vx и Vy:

Найдем коэффициенты кубического сплайна с помощью функций cspline(вектор значений коэффициентов кубического сплайна), pspline(вектор значений коэффициентов квадратичного сплайна), lspline(вектор значений коэффициентов линейного сплайна):

Интерполяция исходных данных:

(interp(VS, VX, VY, x) - возвращает значение f(х) для заданных векторов VS, VX, VY и заданного значения x).

Построим графики интерполяции исходных данных:

Предположим, что множество данных значений функций является достаточным для описания функции, тогда функция будет вида:

Для нахождения коэффициентов A, B, C, D, E составим матрицу:

Искомая функция имеет вид:

Построим на одном графике функции f(x) и f1(x):

Найдем значение функции в точке 2.1:

Зададим точку, в которой требуется найти погрешность интерполяции:

- значение функции в точке 3.1

- значения интерполяций функции в точке 2.1

- значения погрешностей интерполяций в точке 2.1

Из этого следует, что наименьшую погрешность интерполяции дает функция «lspline».