МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ГОЛОВНЕ УПРАВЛІННЯ ОСВІТИ І НАУКИ ВИКОНАВЧОГО ОРГАНУ КИЇВСЬКОЇ МІСЬКОЇ РАДИ

(КИЇВСЬКОЇ МІСЬКОЇ ДЕРЖАВНОЇ АДМІНІСТРАЦІЇ) КИЇВСЬКЕ ТЕРИТОРІАЛЬНЕ ВІДДІЛЕННЯ МАЛОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ

(Київська МАН «Дослідник»)

Відділення: Математика

Секція: Алгебра та початки аналізу

Базова дисципліна: Математика

ТЕМА РОБОТИ

«Метод математичної індукції»

АВТОР РОБОТИ:

Сурков Віктор Владиславович

02 лютого 1998 р.

статус в МАН

Оболонського району

С Ш №194 « Перспектива «

учня 8 – В класу

вул. Героїв Сталінграду 56, кв. 33

Дом. тел. 411-16-30; Моб. тел. 095-094-66-03

науковий керівник (ПІБ (повністю), наукове звання,

місце роботи, посада та контактні телефони)

педагогічний керівник (ПІБ (повністю),

наукове звання, місце роботи, посада та контактні телефони)

КИЇВ – 2010

Тема: « Метод математичної індукції. Класифікація задач. »

Зміст

1. Вступ

2. Основна частина

Метод математичної індукції

1. Математична індукція;

2. Застосування метода математичної індукції ;

3. Класифікація задач, розв’язуваних за допомогою метода математичної індукції:

1) математична індукція та алгебра;

а) доведення рівностей;

б) доведення нерівностей;

в) доведення задач на подільність.

2) математична індукція та геометрія;

3) математична індукція та повсякденне життя;

4. Подвійна та потрійна математична індукція:

а) подвійна математична індукція;

б) потрійна математична індукція;

3. Висновки

4. Список використаної літератури

Тема: « Метод математичної індукції »

Сурков Віктор, СШ №194“Перспектива”

вул. Героїв Сталінграду 56, кв. 33

Педагогічний керівник: Масан Оксана Володимирівна

Темою моєї роботи є: «Метод математичної індукції»

Працюючи над своєю роботою я навчився класифікувати та класифікував задачі на метод математичної індукції, вдосконалив свої навички вирішування задач методом математичної індукції. Також я навчився вирішувати задачі з подвійною та потрійною математичною індукцією, навів декілька прикладів таких задач.

Також,

Вступ

В минулому році я писав роботу в Малу Академію Наук по методу математичної індукції. В цьому році я вирішив, що якщо класифікувати задачі, розв’язувані методом математичної індукції, то їх, можливо буде легше розв’язувати.

Саме слово індукція походить від латинського inductio, що буквально означає «наведення».

Метод математичної індукції відіграє істотну роль у вищій математиці, будучи сильним знаряддям у математичних доведеннях та при розв’язанні різноманітних задач.

Також метод математичної індукції знаходить широке застосування й у рамках шкільного курсу: він часто застосовується для розв’язання алгебраїчних, арифметичних і геометричних задач, саме він дозволяє коротко і строго довести багато теорем.

На даний момент я з нетерпінням чекаю, коли ми будемо вивчати у школі тему «Математична індукція» і вирішувати задачі.

Основна частина

1. Принцип математичної індукції

В основі будь – якого математичного дослідження полягають дедуктивний та індуктивний методи. Дедуктивний метод міркувань – це міркування від загального до частинного, тобто міркування, вихідним моментом якого є загальний результат, а заключним моментом – частинний результат. У математиці застосовуємо дедуктивний метод, проводячи міркування такого типу: дана фігура – прямокутник, а в кожного прямокутника діагоналі рівні, отже, і в даного прямокутника діагоналі рівні.

З

агальні висновки, зроблені на основі розгляду окремих випадків і подальшого поширення закономірностей на загальний випадок, називають індуктивними, а сам метод таких міркувань – індуктивним методом або індукцією.

Індукція застосовується при переході від частинних результатів до загальних, а саме, є методом протилежним дедуктивному.

Метод математичної індукції можна порівняти з прогресом. Ми починаємо з малого і в результаті логічного мислення доходимо до вищого.

Наприклад, ми щодня спостерігаємо, що Сонце сходить на сході. Тому можна бути впевненим, що і завтра воно з’явиться на сході, а не на заході. Цей висновок ми робимо без будь-яких припущень про причину руху Сонця по небу (більш того, сам цей рух є уявним, оскільки насправді рухається земна куля). І, тим не менш, цей індуктивний висновок вірно описує ті спостереження, які ми проведемо завтра.

Роль індуктивних висновків в експериментальних науках дуже велика. Вони дають ті положення, з яких потім шляхом дедукції роблять подальші висновки. Спостереження, індукція є корисними і в подальшому для уточнення зроблених припущень. В математиці роль індукції в значній мірі полягає в тому, що вона лежить в основі аксіоматики. Після того, як тривала практика показала, що прямий шлях завжди коротший ніж кривий або ломаний, природно було сформулювати аксіому: для будь-яких трьох точок А, В та С виконується нерівність |АВ|+|ВС|≥|АС|.

Однак, не слід думати, що цим вичерпується роль індукції в математиці. Звичайно, ми не повинні експериментально перевіряти теореми, виведені з аксіом: якщо в ході висновку не було зроблено логічних помилок, то вони настільки вірні, наскільки були істинними прийняті нами аксіоми. Але з даної системи аксіом можна вивести дуже багато тверджень. І відбір тих тверджень. Які потребують доказів, знову підказується індукцією. Саме вона допомагає корисні теореми від непотрібних, вказує. Які теореми можуть виявитись вірними, і навіть допомагає намітити шлях доказу.

По своєму первинному змісту слово індукція застосовується до міркувань, за допомогою яких отримують загальні висновки спираючись на ряд випадкових стверджень. Найпростішим методом міркувань такого роду є повна індукція.

Іноді загальний результат вдається передбачити після розгляду не всіх, а досить великого числа окремих випадків (так називаєма неповна індукція). Результат, отриманий неповною індукцією, залишається, однак, лише гіпотезою, поки він не доведений точним математичним міркуванням, що охоплює усі часткові випадки. Іншими словами, неповна індукція в математиці не вважається законним методом строго доведення, але є могутнім методом відкриття нових істин.

Уявимо чергу, де першою стоїть жінка, за нею знову жінка, за нею теж жінка і т. д. Чи вірно, що в цій черзі стоять тільки жінки? Звісно! Оскільки усі люди, які стоять в черзі – жінки, то, скоріше за всього, це черга за косметикою, або за чимось таким, що може цікавити тільки жінок, і чоловіків у цій черзі немає.

Нехай ці ствердження інколи й виправдовують себе на практиці, вони не являються виключно математичними і ніяк не пов’язані з методом математичної індукції, про який ми хочемо сьогодні поговорити.

Розглянемо два твердження:

1. Перша людина в черзі – це жінка.

2. За жінкою в черзі може стояти тільки жінка.

З цих двох тверджень випливає, що в черзі можуть стояти тільки жінки. Ми можемо послідовними кроками довести, що будь-яка людина в черзі – жінка.

Маємо формулювання принципа неповної математичної індукції:

Нехай маємо послідовність тверджень Y₁; Y₂; Y₃,…І нехай перше твердження є вірним і ми можемо довести, що з вірності твердження Y_k випливає вірність Y_k+1. Тоді всі твердження в цій послідовності є вірними.

Також сформулюємо принцип повної математичної індукції:

Нехай маємо послідовність тверджень Y₁; Y₂; Y₃,…І нехай ми можемо довести, що з вірності твердження Y₁; Y₂; Y₃, випливає вірність Y_k+1. Тоді всі твердження в цій послідовності є вірними.

Доведення методом математичної індукції складається з чотирьох етапів:

1. База – показуємо, що твердження, яке ми хочемо довести, вірне для деяких найпростіших випадків.

2. Припущення – припускаємо, що твердження правильне для K перших випадків.

3. Крок – в ціому припущенні доводимо твердження для випадку n=K+1

4. Висновок – ствердження, в якому кажемо при яких значеннях n (або іншій змінній) твердження є справедливим.

Найбільш простим методом індуктивного міркування є повна індукція.

Приклад повної індукції

Потрібно довести, що 1+3+…+(2n-1)=n². При n=1 рівність правильна (1=1²) доведемо рівність для усіх натуральних значень n. Припустимо, що рівність правильна для n=k

1+3+…+(2k-1)=k²

Доведемо рівність для n=(k+1). Тоді маємо:

1+3+…+(2k-1)+(2(k+1)-1)=

1+3+…+2k-1+2k+1=

k²+2k+1=(k+1)²

Дане твердження доведено для всіх n∈N.

Інколи загальний результат вдається передбачити після розгляду не усіх, а більшості окремих випадків (так звана неповна індукція). Результат, отриманий неповною індукцією, залишається лише гіпотезою, поки він не доведений точним математичним міркуванням, охоплюючим усі окремі випадки.

Приклад неповної індукції

Розглядаючи числа виду 2²ⁿ французький математик П’єр Ферма помітив, що при n=1, 2, 3, 4 виходять прості числа. Він припустив, що усі числа такого типу прості. Однак, швейцарський математик і фізик Леонід Ейлер визначив, що вже при n = 5 число 2³² не є простим: воно ділиться на 641.

На жаль, у звичайних учбових закладах математичну індукцію майже не вивчають. Людина нічого не дізнається з тих двох – трьох уроків, які будуть присвячені індукції, але отримає «відмінно» за те, що вона нічого не знає. Адже мислити індуктивно – це так важливо.