Міністерство освіти і науки України
ДЕПАРТАМЕНТ ОСВІТИ і НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ
ВИКОНАВЧОГО ОРГАНУ КИЇВСЬКОЇ міськОЇ РАДИ
(київської міської державної адміністрації)
КИЇВСЬКЕ ТЕРИТОРІАЛЬНЕ ВІДДІЛЕННЯ МАЛОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ
(КИЇВСЬКА МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК )
Відділення математики
Секція Прикладна математика та математичне моделювання
базова дисципліна математика
Фрактали та їх застосування
РОБОТУ ВИКОНАВ:
слухач
Аксьоненко Ілля Олегович
2 серпня 1999 року
учень 9 класу
Політехнічний ліцей НТУУ “КПІ”
Солом'янського району м. Києва
вул. Уборевича, 17/90
+380986754533
ilya.aksyonenko@gmail.com
Науковий керівник
Гладков Юрій Євгенович
Вчитель математики
Політехнічного ліцею НТУУ «КПІ» м. Києва
+380937169267
Педагогічний керівник
Руденко Олена Володимирівна
Вчитель математики вищої категорії
Політехнічного ліцею НТУУ «КПІ» м. Києва
+380501628761
Київ – 2014 зміст
Вступ………………………………………………………………………………3
Розділ 1. Фрактали Коха та Серпінського…………………………………....5
1.1 Сніжинка Коха………………………………………………………….5
1.2 Серветка та килим Серпінського……………………………………...6
Розділ 2. Л-системи……………………………………………………………....9
Розділ 3. Практичне застосування……………………………………………12
Висновки………………………………………………………………………...14
Використана література……………………………………………………….15
ВСТУП
Багато природних систем настільки складні і нерегулярні, що використання тільки знайомих об'єктів класичної геометрії для їх моделювання є безнадійним. Як, наприклад, побудувати модель гірського хребта або крони дерева в термінах геометрії ? Як описати те різноманіття біологічних конфігурацій, яке ми спостерігаємо в світі рослин і тварин? Уявіть собі всю складність системи кровообігу, що з безлічі капілярів і судин доставляє кров до кожної клітинки людського тіла. Уявіть, як хитромудро влаштовані легені та нирки, що нагадують за структурою дерева з гіллястою кроною. Настільки ж складною та нерегулярною може бути і динаміка реальних природних систем. Як підступитися до моделювання каскадних водоспадів або турбулентних процесів, що визначають погоду? Фрактали і математичний хаос - відповідні засоби для дослідження поставлених питань. Термін «фрактал» відноситься до деякої статичної геометричної конфігурації, такої, як миттєвий знімок водоспаду. Хаос --- термін динаміки, використовуваний для опису явищ, подібних турбулентному поведінки погоди. Нерідко те, що ми спостерігаємо в природі, інтригує нас нескінченним повторенням одного і того ж візерунка, збільшеного чи зменшеного у скільки завгодно разів. Наприклад, у дерева є гілки. На цих гілках є гілки трохи менше і т.д. Теоретично, елемент « розгалуження » повторюється нескінченно багато разів, стаючи все менше і менше. Те ж саме можна помітити, розглядаючи фотографію гірського рельєфу. Спробуйте трохи наблизити зображення гірської гряди - ви знову побачите гори. Так проявляється характерне для фракталів властивість самоподібності. У багатьох роботах з фракталів самоподібність використовується як визначальнв властивість. За Бенуа Мадельбротом, ми приймаємо точку зору, згідно з якою фрактали повинні визначатися в термінах фрактальної ( дробової ) розмірності. Звідси і походження слова «фрактал».
РОЗДІЛ І. Фрактали Коха і Серпінського
Підрозділ 1.1 Сніжинка Коха
На початку ХХ століття математики шукали такі криві, які ні в одній точці не мають дотичній. Це означало, що крива різко змінює свій напрямок, і притому з колосально великою швидкістю ( похідна дорівнює нескінченності). Пошуки даних кривих були викликані не просто дозвільним інтересом математиків. Справа в тому, що на початку ХХ століття дуже бурхливо розвивалася квантова механіка. Дослідник М.Броун замалював траєкторію руху зважених часток у воді і пояснив це явище так : атоми рідини, що безладно рухаються, вдаряються у тверді частинки у воді і тим самим приводять їх у рух. Після такого пояснення броунівського руху перед вченими постало завдання знайти таку криву, яка б найкращим чином апроксимувала рух броунівських частинок. Для цього крива повинна була відповідати наступним властивостям: не мати дотичній ні в одній точці. Математик Кох запропонував одну таку криву. Ми не будемо вдаватися в пояснення правила її побудови, а просто наведемо її зображення, з якого все стане ясно ( рис.1.1.1 ).
Рис 1.1.1. Сніжинка Коха.
Одна важлива властивість, якою володіє поверхня сніжинки Коха --- її нескінченна довжина. Це може здатися дивним, тому що ми звикли мати справу з кривими з курсу математичного аналізу. Зазвичай криві завжди мають кінцеву довжину ( у чому можна переконатися інтегруванням ). Мандельброт по цій темі опублікував ряд захоплюючих робіт, в яких досліджується питання про вимірювання довжини берегової лінії Великобританії. В якості моделі він використовував фрактальну криву, що нагадує кордон сніжинки за тим винятком, що в неї введено елемент випадковості, що враховує випадковість в природі. У результаті виявилося, що крива, що описує берегову лінію, має нескінченну довжину.