Умножение

Операция умножения отрицательного числа соответствует базовой, что будет в дальнейшем использовано при рассмотрении умножения разнознаковых чисел.

1•(-2)=-2

2•(-2)=-4

……………

4•(-2)=-8

……………

8•(-2)=-16

……………

16•(-2)=-32

……………

Замечание: характеристика A_п отрицательного числа имеет положительный знак и равна характеристике соответствующего положительного числа.

Возведение в степень

1•(-2)=-2 (-2)¹=-2

2•(-2)=-4 (-2)²=4

4•(-2)=-8 (-2)³=-8

8•(-2)=-16 (-2)⁴=16

16•(-2)=-32 (-2)⁵=-32

Перед нами две колонки цифр – результаты операции возведения числа в степень: первая – соответствует базовой операции, вторая – выполнена по классической схеме. В первой колонке – постоянство знаков, во второй – их чередование. Налицо несоответствие, и, значит, - ошибка.

Сравнивая колонки построчно, видим расхождение результатов вычислений только в тех строках, где отрицательное основание возводится в четную степень.

Важно! Зная, что возведение в степень отрицательного числа одновременно есть и умножение отрицательного числа на себя, делаем заключения:

• классическая операция умножения 2-х отрицательных чисел не соответствует базовой операции сложения;

• классическая операция возведения отрицательного числа в степень не соответствует базовой операции сложения.

Рассматривая результаты этих операций, можно сделать и предварительный вывод: результат перемножения отрицательных чисел или возведения отрицательного числа в степень должен иметь отрицательный знак.

Примечание: оппоненты могут возразить: дважды меняем в равенстве знаки и получаем положительный результат умножения 2-х отрицательных чисел, т.е.

2•2=4 – исходное равенство,

2•(-2)=-4 - 1-й шаг, и (-2)•(-2)=4 - второй шаг.

Но, как было показано, знак результата умножения отрицательного числа, возведения его в степень либо перемножения 2-х отрицательных чисел – всегда отрицательный, то привнесенная ошибка возражений кроется во 2-м шаге, являющимся избыточным. Данный пример должен быть завершен на 1-м шаге, где результат – отрицательное число.

1.3. Умножение разнознаковых чисел

Эту операцию можно записать как N=x•y, и есть 4 варианта сочетаний знаков аргументов:

x≥0, y≥0 N≥0 (классическая, исходная установка)

x<0, y<0 N<0 (доказано выше)

x<0, y≥0 N<0 (классическая установка)

x≥0, y<0 N<0 (классическая установка, совпадающая с новой трактовкой)

Р ассматривая знак результатов вычисления (N), заметим, что ¾ вариантов имеет отрицательный знак, т.е. налицо отсутствие баланса, а значит – и наличие ошибки. С учетом предыдущего замечания о не совсем корректном использовании переместительного свойства при перемножении 2-х чисел можно сделать заключение: существующее представление о знаке произведения разнознаковых сомножителей – ошибочно.

Но! N=x•y – функция геометрического представления площади, тогда операцию умножения необходимо представить, используя 2 оси координат: X и Y, а результат N будет размещаться в одном из 4-х квадрантов.

Отсюда:

x≥0, y≥0 N≥0 (50%

x<0, y≥0 N≥0 (вариантов)

x <0, y<0 N<0 (50% На примерах: 2•4=8; (-2)•4=8;

x≥0, y<0 N<0 вариантов) (-2)•(-4)=-8; 2•(-4)=-8

Из процентного соотношения вариантов видно – равновесие знаков результатов достигнуто, а результат умножения 2-х чисел располагается в одном их 4-х квадрантов 2-х перпендикулярных осей X и Y.

Итак, используя в качестве доказательства базовый принцип операции сложения чисел, можно подвести итоги.

Основные выводы:

1. Операция умножения 2-х чисел переместительным свойством не обладает.

2. При умножении 2-х чисел знак произведения определяется знаком 2-го сомножителя.

Основные следствия:

1. При делении 2-х чисел знак частного определяется знаком делимого. Полученное частное является 2-м сомножителем проверочного произведения.

2. Знак результата операции возведения числа в степень определяется знаком основания.