От парадокса в умножении чисел до … Автор: Александр Махов

Человечество, с тех пор, как рождено, бежит без оглядки, как ему кажется, по верному пути. Но, непогрешимых - нет, и порой все же нужно сделать остановку, чтобы оглянуться назад, критически оценить и переосмыслить достигнутое. И если с высоты прожитых цивилизацией лет будут обнаружены ошибки, то, очевидно, чтобы не попасть на тупиковый путь развития, на дорогу в никуда, необходимо их устранить.

Математика – один из ключевых инструментов для всех остальных наук, всего нашего бытия. И здесь, как видится, в первую очередь необходимо ее периодическое переосмысление. К тому же, Человечество, имея в своих истоках такую богатейшую цивилизацию, как шумерскую, - довольно сильно исказило ранее существующую на Земле математическую базу, хотя до сих пор не может достигнуть ее высот.

Но наша цивилизация накопила уже достаточно ошибок, о чем будет сказано, и одной из них является парадокс в операции умножения чисел.

1. Парадокс в операции умножения (доказательство №1)

С тех пор, как Коши, встретившись с трудностями при решении уравнений 3-й степени, предложил использовать мнимые числа, в математической среде не утихают споры по поводу правомерности такого предложения.

Но мнимое число никогда бы не появилось, не будь отрицательных чисел. И мы покажем, что предложение Коши было вынужденным, что эта проблема была уже запрограммирована ранее и скрытно возникла еще при появлении отрицательных чисел как таковых. Другой вопрос: видел ли это Коши, - наверняка видел. А если видел, но промолчал, значит, последствия обнародования ошибки были настолько значимыми, что великий математик предпочел иной путь – известный. Но это все из области предположений, и действительность такова, какова она есть.

Исторически наша математика проходила свое развитие по известному пути: сначала были операции с положительными числами, затем появились отрицательные и нуль, а затем уж – степени и логарифмы чисел, интегралы, дифференциалы и т.д.

Итак, мы утверждаем, что проблемная ошибка возникла с появлением операции умножения отрицательных чисел, и покажем это. Основой доказательств будут служить: операции с положительными числами, и тот неоспоримый постулат алгебры, что, при переносе числа (результата вычислений) в другую часть равенства, это число (результат) меняет свой знак на противоположный.

Подчеркнем направление начального этапа исследования: показать, что при умножении и возведении в степень положительных чисел операция сложения является базовой.

1. Операции с положительными числами.

Сложение. 2+2+2+2+2=10 – здесь мы число 2 пять раз складываем с накопительной суммой S₀. В программировании это запишется как:

S₀=0 – начальное значение накопителя

и далее в цикле: S₀= .

2=2

2+2=4

……………

2+2+2+2=8

……………

2+2+2+2+2+2+2+2=16

……………

2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2=32

……………

Умножение. Запись 5•2=10 полностью соответствует предыдущему словесному примеру операции сложения, и она говорит, что число 2 пять раз просуммировано в накопителе (“пять раз по 2”). Записи 2+2+2+2+2 и 5•2 полностью идентичны.

Но запись 2•5 (“два раза по 5”), где на выходе тот же результат (10), говорит об операции совсем с другим числом, а именно с числом 5: 5+5=10. При операциях сложения и умножения это число складывается в накопителе всего два раза, значит использовать переместительное свойство при умножении – не совсем корректно.

1•2=2

2•2=4

……………

4•2=8

……………

8•2=16

……………

16•2=32

……………

Сравнивая в данных примерах операции сложения и умножения чисел, видно, что результаты полностью идентичны, но запись операции умножения является более экономной. По сути же появляется новое, по сравнению со сложением, понятие – умножение числа (не чисел!).

Возведение в степень. Запись 2⁵=32 означает, что число 2 пять раз умножено на частичный результат в накопителе:

2¹=2=2

2²=2•2=4

2³=2•2•2=8

2⁴=2•2•2•2=16

2⁵=2•2•2•2•2=32

Сравнивая в приведенных примерах операции сложения, умножения и возведения чисел в степень, видно, что результаты полностью идентичны, но запись операции возведения в степень, по сравнению с умножением, является более экономной. Но, как и ранее, появляется другое новое понятие – возведение чисел в степень.

В этих же примерах наглядно демонстрируется:

• последовательный переход одной операции в другую, когда операция сложения чисел (при едином основании) может быть заменена операцией умножения, а последняя – операцией возведения в степень;

• при умножении числа и возведении его в степень операция сложения является базовой.

При сравнении всех трех операций можно выявить еще их некоторые параметры: основание числа a (здесь: a=2) и характеристику числа. Но если основание числа остается для всех операций в наших примерах неизменным, то характеристика числа приобретает различные понятия и значения.

2¹=2=2 1•2=2 2⁰•2=2

2²=2•2=4 2•2=4 2¹•2=4

2³=2•2•2=8 4•2=8 2²•2=8

2⁴=2•2•2•2=16 8•2=16 2³•2=16

2⁵=2•2•2•2•2=32 16•2=32 2⁴•2=32

При едином основании a числа характеристика числа есть суть:

• при сложении – количество слагаемых (членов выражения) - n_s;

• при умножении – 1-ый сомножитель A_п, численно равный n_s;

• при возведении в n-ю степень – коэффициент A_с, численно равный a^n-1.

Связывая воедино все три операции, и двигаясь от операции возведения в степень к операции сложения чисел, получим, что при возведении числа a в степень n: aⁿ = A_с▪a и A_с=A_п=n_s.

Здесь вновь демонстрируется:

• неразрывная связь всех трех приведенных операций;

• основополагающий характер операции сложения чисел.

Прежде, чем перейти к отрицательным числам, вспомним их толкование, интерпретацию в момент зарождения – как “долг”, “задолженность” при взаиморасчетах между двумя сторонами. Чтобы не нарушать историческую логику, не будем отходить от этой трактовки и мы.

Примечание: в бухгалтерии принят несколько иной способ определения задолженности. Там оперируют положительными суммами дебета и кредита, получая в итоге отрицательное или положительное сальдо. Но это всего лишь способ, а суть алгебры остается неизменной.

1.2. Операции с отрицательными числами

Для исследования сути этих операций воспользуемся предыдущими примерами, в каждом случае поменяв местами исходное выражение и результат.

Сложение

1▪(-2)=-2

1▪(-2)+1▪(-2)=-4

……………

1▪(-2)+1▪(-2)+1▪(-2)+1▪(-2)=-8

……………

1▪(-2)+1▪(-2)+1▪(-2)+1▪(-2)+1▪(-2)+1▪(-2)+1▪(-2)+1▪(-2)=-16

……………

1▪(-2)+1▪(-2)+1▪(-2)+1▪(-2)+1▪(-2)+1▪(-2)+1▪(-2)+1▪(-2)+1▪(-2)+1▪(-2)+1▪(-2)+ +1▪(-2)+1▪(-2)+1▪(-2)+1▪(-2)+1▪(-2)=-32

……………

Для чего перед каждым членом в выражениях помещена единица? Это – один из параметров каждого члена выражения, который ранее определен как “характеристика”. Сумма этих единиц как раз и дает величину n_s выражения.

Почему эти единицы имеют положительный знак? Логическое осмысление дает ответ – не может количество предметов (здесь – “долговых” расписок) быть отрицательным. Вследствие того, что операция сложения является базовой, число, а не связка между членами выражения меняет свой знак при перемещении в другую часть общего алгебраического выражения, отрицательный знак “отдан” под влияние основания числа, введен внутрь этого основания.

Сравнительные наблюдения, которые можно вынести из этой таблицы:

• все числа (основания и результаты) поменяли свой знак на отрицательный;

• характеристика отрицательного числа всегда имеет положительный знак, а для операции сложения чисел - всегда равна 1;

• знак операции, соединяющий члены выражений, остался неизменно положительным.