25. Виброактивность плоского механизма

Вопр26(2ч)Виброактивность плоского механизма

При анализе внешней виброактивности плоского механизма часто ограничиваются определением составляющих главного вектора и главного момента внешних реакций, лежащих в плоскости движения. Если располагать оси Oх и Oy в этой плоскости, то речь пойдет о компонентах . Для каждого положения механизма может быть найдена прямая r-r, параллельная вектору являющаяся линией действия равнодействующей всех внешних реакций (рис. 7.10). Ее положение определяется из условия (7.24)

Уравновешивание первых гармоник сил инерции. Рассмотрим некоторый произвольный плоский механизм (рис. 7.12), состоящий из передаточного и исполнительного механизма. Пусть входное звено исполнительного механизма (кривошипа) вращается с постоянной угловой скоростью . Полагая, что активные силы для машины являются внутренними, имеем

Здесь x_c() и y_c() – координаты центра масс механизма, являющиеся периодическими функциями угла поворота кривошипа ; и – вторые производные по , также являющиеся периодическими функциями. Разложим функции и в ряд Фурье и сохраним в этом ряду только первые гармоники; получим

(7.26)

Каковы бы ни были коэффициенты вектор с компонентами (7.26) может быть представлен в виде суммы двух векторов и следующим образом:

Легко видеть, что вектор имеет постоянный модуль

и при изменении  от 0 до 2 вращается в направлении вращения кривошипа. Вектор с модулем вращается при этом в противоположном направлении с той же угловой скоростью. С

помощью двух противовесов, один из которых закреплен на кривошипе, а другой установлен на дополнительном валу, связанном с кривошипом зубчатой передачей внешнего зацепления с i = – 1, можно уравновесить

соответствующем  = 0) определяется углами    ₊ и    _- (см. рис. 7.12) , а их массы m_I и m_II и радиусы и определяются из соотношений

Определим массы противовесов и углы их установки для механизма (рис.7.13).

Пусть С₁ и С₂ – центры масс кривошипа и шатуна; К₁ и К₂ – центры масс противовесов; В – центр масс ползуна; m₁, m₂, m₃ – массы звеньев 1, 2 и 3; ОА = r, АВ = 2r , АС₂ = r, OК₁ = а_I, О₂К₂ = а_II, ОС₁ = 0,5r. Координаты точек А, В и их вторые производные по  (аналоги ускорения):

, , ,

,

Запишем выражение для первой гармоники вектора R^(e) (в выражении для оставляем только первое слагаемое):

Учитывая, что масса механизма m = m₁ + m₂ + m₃, получаем коэффициенты при cos(φ) и sin(φ):

, , , . Принимаем радиусы установки противовесов . Определяем углы установки противовесов и их массы

,

Как видим, противовесы в этом случае оказываются менее громоздкими (их суммарная масса для рассмотренного примера меньше суммарной массы подвижных звеньев механизма), однако при этом появляется дополнительная зубчатая передача.

Чаще всего ограничиваются установкой одного противовеса, уменьшающего первую гармонику неуравновешенной силы, но не обеспечивающего полное ее устранение. Можно, например, выбрать величину массы противовеса, радиуса и начального угла его установки на кривошипе таким образом, чтобы минимизировать наибольшее значение модуля .

В принципе можно уравновесить и первую гармонику момента , который также является периодической функцией от угла поворота . С этой целью также можно использовать два противовеса, установленных на осях O и O₁ (см. рис. 7.12) и вращающихся в противоположных направлениях с угловой скоростью  (противовесы m_MI и m_MII). Массы противовесов и их расстояния от центров вращения определяются по формуле где – расстояние OO₁, – амплитуда первой гармоники момента . Устанавливая на дополнительных осях вращения противовесы, вращающиеся с угловой скоростью k, можно аналогичным путем уравновесить k–е гармоники динамических реакций. Из-за сложности конструкции такое уравновешивание применяется только в исключительных случаях.

Вопр 27(часть2)

Потери энергии на трение в цикловом механизме

Движение циклового механизма сопровождается не только возникновением переменных сил, приводящим к его внутренней и внешней виброактивности; в движущемся механизме происходят также процессы, связанные с преобразованием энергии.

Основным энергетическим процессом, происходящим в механизме, является преобразование работы движущих сил в работу сил полезного сопротивления, возникающих при выполнении рабочего процесса. Вместе с тем работа движущих сил переходит в механизме в кинетическую энергию его подвижных звеньев, потенциальную энергию действующих на звенья механизма потенциальных сил (силы тяжести, силы упругости в упругих элементах), а также в работу сил трения, возникающих в кинематических парах. При установившемся движении циклового механизма изменение кинетической и потенциальной энергии за цикл оказывается равным нулю, поскольку в начале и конце цикла координаты и скорости всех материальных точек одинаковы. Поэтому баланс работ за цикл может быть записан для механизма в следующей форме:

, (7.27)

где А_ДС – работа движущих сил, А_ПС – работа сил полезного сопротивления, А_ТР – работа сил трения, характеризующая потери энергии в механизме. Работа сил трения, преобразующаяся в тепловую энергию, приводит к нагреву контактирующих элементов кинематических пар, что вызывает увеличение интенсивности износа и снижение долговечности механизма. Расходы энергии на трение ухудшают экономические показатели работы машины.

В связи с этим потери на трение, возникающие в механизме при выполнении заданного рабочего процесса, должны рассматриваться как одна из важных динамических характеристик, определяющих наряду с внешней и внутренней виброактивностью качество механической системы машины.

После проведения кинематического и силового анализа и определения сил трения в кинематических парах вычисление потерь энергии в механизме не вызывает затруднений. Рассмотрим в качестве примера кривошипно-ползунный механизм, показанный на рис. 7.14. Предположим, что в некотором положении механизма, определяемом обобщенной координатой q, найдены величины силы трения F в поступательной паре и моменты сил трения во вращательных парах. Тогда, зная скорость движения ползуна и относительные угловые скорости во вращательных парах O, А, В, можно определить мощность сил трения

(7.28)

Работа сил трения за цикл при равномерном вращении входного звена с угловой скоростью определяется интегрированием этого выражения

Учитывая, что

Получаем

(7.29)

Для приближенного вычисления этого интеграла определяются значения сил и моментов сил трения, а также геометрических передаточных функций механизма d / dq, d / dq, dx_B / dq в k дискретных положениях: q = 2s/k (s=0,…, k – 1). Далее вычисляется приближенное значение по формуле

(7.30)

Качество механизма может характеризоваться и таким параметром, как коэффициент полезного действия (КПД). Коэффициентом полезного действия циклового механизма при установившемся движении называется отношение работы сил полезного сопротивления за цикл к работе движущих сил:

(7.31)

Для передаточных механизмов с линейной функцией положения КПД может быть определен как отношение мощности полезных сил сопротивления к мощности движущих сил. Величина

  1   , (7.32)

равная, в силу выражения (7.27), отношению потерь на трение к работе движущих сил, называется коэффициентом потерь.

Напомним, что реакции в кинематических парах, а следовательно, и возникающие в них силы трения, зависят как от активных сил полезного сопротивления, так и от сил инерции. Силы инерции в свою очередь определяются законами движения звеньев. Поэтому КПД и коэффициент потерь зависят не только от качества механизма, свойств его кинематических пар, коэффициентов трения в них, но и от режима работы, законов программного движения, рабочей нагрузки. Так, при полном отсутствии полезной нагрузки (А_ПС = 0) силы инерции звеньев механизма будут вызывать реакции в кинематических парах, а следовательно, и силы трения. В этом режиме всегда  = 0,   1. С увеличением полезной нагрузки при фиксированном законе движения входного звена КПД механизма будет возрастать, поскольку потери на трение будут увеличиваться медленнее, чем работа сил полезного сопротивления.

Чтобы исключить влияние инерционных сил на КПД, можно пользоваться условной расчетной моделью механизма, учитывающей только действие движущих сил и сил полезного сопротивления. В этой модели принимается, что массы всех звеньев равны нулю.

Силы трения, рассчитанные по такой модели, будут в каждом положении механизма пропорциональными полезной нагрузке, и КПД будет характеризовать только свойства кинематических пар.

Для увеличения КПД и уменьшения потерь на трение при конструировании механизмов используются различные методы. Наибольший эффект дает уменьшение коэффициентов трения в кинематических парах. Это достигается применением опор качения вместо опор скольжения, использованием смазки в кинематических парах и т.п.

Вопр28(часть 2)Механические характеристики двигателя

При решении задач динамики машин обычно используют наиболее простые динамические модели двигателей, отражающие зависимости между законами изменения во времени входного параметра двигателя (управления) u(t) ,обобщенной скорости выходного звена и обобщенной движущей силы Q(t) (рис. 8.1). Математические соотношения, описывающие эти зависимости, называются механическими характеристиками двигателей. К более сложным моделям, учитывающим динамику внутренних физических процессов, происходящих в двигателях, приходится обращаться сравнительно редко; в этом курсе такие модели рассматриваться не будут

С основными разновидностями механических характеристик познакомимся на примере электродвигателя постоянного тока с независимым возбуждением, принципиальная схема которого показана на рис. 8.2. Здесь вращение выходного звена двигателя (ротора) происходит за счет взаимодействия тока, возникающего в обмотке ротора, с магнитным полем, создаваемым обмоткой возбуждения. При вращении ротора в его обмотке в соответствии с законом электромагнитной индукции возникает обратная электродвижущая сила Е (ЭДС), пропорциональная величине магнитного потока обмотки возбуждения Ф и угловой скорости ротора :

,

где – некоторый коэффициент пропорциональности. В цепи ротора при прохождении тока I возникают потери напряжения, связанные с наличием активного сопротивления R и индуктивности L . С учетом потерь уравнение электрической цепи записывается в форме

. (8.1)

С другой стороны, в соответствии с законом Ампера движущий момент Q связан с силой тока I соотношением

. (8.2)

Исключая I из (8.1) и (8.2), получаем

. (8.3)

Обозначив,, , приведем выражение (8.3) к виду

. (8.4)

Вопрос29(часть2)

Уравнения движения машины. Режимы движения

Уравнения движения машинного агрегата с одной степенью подвижности, механическая система которого состоит из механизмов с жесткими звеньями и идеальными кинематическими парами, включают уравнение движения механической системы, полученное, например, в форме уравнения Лагранжа второго рода, и характеристики двигателя. Если при этом выбирается идеальная кинематическая характеристика в форме (8.6), то при заданном законе изменения входного параметра u(t) закон изменения угловой скорости двигателя, а следовательно, и закон движения ротора определяется по этой характеристике:

, , (8.13)

а уравнение Лагранжа может быть использовано для определения движущего момента:

. (8.14)

Иными словами, в этом случае мы приходим к задаче исследования динамики механической системы при заданном законе движения входного звена, решение которой методом кинетостатики рассматривалось в главах 4 и 5. Такая постановка задачи исследования динамики машинного агрегата приемлема, если двигатель обладает жесткой характеристикой. Для двигателя с мягкой характеристикой приближенное исследование движения машины может производиться по идеальной силовой характеристике (8.7). В этом случае обобщенная движущая сила определяется по характеристике двигателя

, (8.15)

а закон движения машины может быть найден интегрированием уравнения

, (8.16)

полученного подстановкой (8.15) в уравнение Лагранжа второго рода.

Использование идеальных характеристик является приемлемым, как правило, на ранних стадиях проектирования машинного агрегата; более точный динамический анализ требует учета зависимости закона движения от нагрузки, отражаемыми статическими и динамическими характеристиками. При использовании статической характеристики приходим к дифференциальному уравнению движения

, (8.17)

получаемому подстановкой (8.9) в уравнение Лагранжа. Это нелинейное уравнение второго порядка, которое может быть проинтегрировано при заданном законе и заданных начальных или граничных условиях.

При учете динамической характеристика двигателя задача сводится к интегрированию системы двух дифференциальных уравнений с двумя неизвестными и .

Режимы движения машины. Исследование динамики машинного агрегата сводится обычно к определению и анализу некоторых частных решений дифференциальных уравнений движения, соответствующих наиболее характерным режимам.

а). Установившееся движение. Установившийся режим характерен для машин, работающих при постоянной нагрузке, а также для цикловых машин, выполняющих циклически повторяющийся процесс. Обычно в установившемся режиме входной параметр является

Вопрос 30(часть2)

Определение средней угловой скорости

установившегося движения цикловой машины

Исследуем установившееся движение машины, учитывая статическую характеристику двигателя. Уравнение движения получаем подстановкой в уравнение (8.17):

. (8.20)

Периодическое решение этого уравнения будем искать в форме, соответствующей (8.19):

. (8.21)

Выделим средние значения , :

, . (8.22)

Подставим (8.22) в (8.20), перенесем слагаемые, зависящие от q в правую часть уравнения:

. (8.23)

Влияние статической характеристики двигателя проявляется двояким образом. Во-первых, средняя угловая скорость ротора уже не определяется только значением входного параметра, а зависит от нагрузки; во-вторых, переменные силы, возникающие в механической системе и определяющие внутреннюю виброактивность механизма, приводят к колебаниям угловой скорости двигателя. Легко видеть, что колебательные процессы обусловлены наличием в уравнении (8.23) членов, явно зависящих от q и расположенных в его правой части. Полагая, что колебания угловой скорости являются малыми, (), можно искать решение уравнения (8.23) методом последовательных приближений, причем в качестве исходного «нулевого» приближения выбрать решение вида

, (8.24)

удовлетворяющее уравнению

. (8.25)

Подставляя (8.24) в (8.25), получаем уравнение, из которого можно определить :

. (8.26)

Это уравнение имеет простой физический смысл: оно означает, что в системе устанавливается такая угловая скорость вращения ротора двигателя, при которой средний момент движущих сил оказывается равным среднему моменту сил сопротивления . Уравнение (8.26) можно решать графически, определяя точки пересечения графиков и (рис. 8.4). Как видно из рисунка, точек пересечения может быть несколько, что соответствует нескольким решениям уравнения (8.26). Реализуемым установившимся движениям соответствуют только устойчивые решения уравнения (8.25). Для выявления таких решений составим уравнения в вариациях для решения (8.24). Линеаризуем и в окрестности :

, .

Полагая, что , подставляем эти выражения в (8.25):

Соотношение (8.4), связывающее входной () и выходные () параметры двигателя, называется динамической характеристикой. Параметр называется электромагнитной постоянной времени и характеризует инерционность электромагнитных процессов, происходящих в двигателе. Обычно величина его лежит в пределах от 0,02 до 0,1 с. Параметр называется крутизной характеристики двигателя. Чем больше крутизна , тем слабее изменение нагрузки влияет на величину угловой скорости ротора.

Характеристика (8.4) широко используется при анализе динамических процессов, происходящих в машинах, приводимых в движение электродвигателями постоянного тока с независимым возбуждением. Если исследуется статический процесс, при котором , выражение (8.4) упрощается и переходит в статическую характеристику двигателя:

.

Статическая характеристика может использоваться и для исследования таких динамических процессов, при которых , то есть в тех случаях, когда малой является либо постоянная времени , либо производная .

На рис. 8.3 построены два семейства статических характеристик: на рис. 8.3, а изображены рабочие характеристики, выражающие зависимости при различных постоянных значениях ; на рис. 8.3, б представлены регулировочные характеристики , построенные для различных постоянных значений

В рассматриваемом слу­чае все эти характеристики являются линейными.

Регулировочная характеристика, соответствующая Q = 0 ( то есть определяющая зависимость при отсутствии нагрузки на двигатель), называется характеристикой холостого хода. При определенных условиях эта характеристика может рассматриваться как приближенная и при . Это имеет место в тех случаях, когда статическая характеристика двигателя является достаточно жесткой, то есть когда крутизна s достаточно велика, так что влиянием нагрузки на скорость можно в первом приближении пренебречь. Характеристика. полученная при таком предположении, называется идеальной кинематической характеристикой; она может быть приведена к виду

. (8.5)

В соответствии с этой характеристикой угловая скорость ротора полностью определяется значением входного параметра двигателя: при ее использовании двигатель становится как бы «источником скорости».

Общий вид механических характеристик двигателей. В общем случае механические характеристики различных двигателей (тепловых, гидравлических, пневматических) могут быть представлены в форме, аналогичной полученным выше. На холостом ходу, при , поведение двигателя характеризуется идеальной кинематической характеристикой , (8.6)

которая в общем случае может быть нелинейной. С помощью такой характеристики приближенно описываются свойства двигателей, у которых скорость в статических режимах слабо зависит от нагрузки. Кроме рассмотренных выше электродвигателей такими свойствами обладают гидравлические двигатели с объемным и дроссельным управлением. В тепловых двигателях внутреннего сгорания и в пневматических двигателях наблюдается обратное: значение входного параметра u в значительной мере предопределяют величину обобщенной силы. Статические режимы в таких двигателях могут приближенно описываться идеальной силовой характеристикой

. (8.7)

В общем случае при исследовании статических режимов используются статические характеристики вида

. (8.8)

Они могут быть представлены в форме, разрешенной относительно Q:

. (8.9)

Эти характеристики учитывают влияние нагрузки на обобщенную скорость, которое в большей или меньшей степени проявляется у всех реальных двигателей. Регулировочные характеристики, получающиеся из (8.8) при Q=const, и рабочие характеристики, получающиеся из (8.9) при u=const, вообще говоря, являются нелинейными. Как правило, с ростом нагрузки обобщенная скорость уменьшается, и рабочие характеристики оказываются «падающими». Величина производной , взятая с обратным знаком

, (8.10)

называется крутизной статической характеристики в данной точке; для падающей характеристики . Если обобщенная скорость слабо зависит от нагрузки, статическая характеристика двигателя называется жесткой; если же изменение скорости слабо влияет на величину момента, характеристика является мягкой.

В некоторых задачах динамики машин значения и могут считаться близкими к некоторым средним значениям и . В этих случаях линейная статическая характеристика может быть линеаризована в окрестности точки (,):

. (8.11)

Статические характеристики адекватно отражают свойства реальных двигателей только при статических режимах работы машины, то есть в тех случаях, когда параметры постоянны или изменяются незначительно и достаточно медленно. В более общем случае приходится учитывать инерционность физических процессов, происходящих в двигателе. В электрическом двигателе постоянного тока такая инерционность связана с индуктивностью цепи якоря; она приводит к тому, что изменение входного напряжения не сразу влечет за собой изменение тока в цепи ротора; происходит переходный процесс, продолжительность которого зависит от постоянной времени .

В двигателях других типов у инерционности иная физическая природа. В гидравлическом двигателе она обусловлена сжимаемостью жидкости. Однако во всех случаях она приводит к тому, что обобщенная скорость выходного звена зависит не только от нагрузки, но и от ее производных по времени. В первом приближении это можно учесть введением в статическую характеристику (8.9) первой производной от и представлением ее в форме

. (8.12)

Параметр называется в общем случае собственной постоянной времени двигателя, а выражение (8.12) – его динамической характеристикой. Необходимо отметить, что для некоторых классов двигателей характеристика вида (8.12) может использоваться только в тех случаях, когда изменяется в сравнительно узких пределах, а для исследования других динамических режимов необходимо пользоваться более сложными динамическими моделями, которые в этом курсе не рассматриваются.

постоянной величиной

. (8.18)

При этом в машине с роторным двигателем устанавливается периодическое движение, при котором угловая скорость ротора остается близкой к некоторому среднему значению :

, (8.19)

причем . Отклонение скорости вращения ротора от средней скорости называется динамической ошибкой по скорости. Режим, удовлетворяющий условиям (8.18) и (8.19), мы и будем в дальнейшем называть установившемся движением машины.

б). Переходные процессы. К переходным процессам относят процессы разбега, выбега машины и переходный процесс при изменении нагрузки. Процессу разбега соответствует решение уравнений движения, удовлетворяющее начальным условиям ; в процессе разбега происходит переход машины от состояния покоя к установившемуся движению. Разбег называется неуправляемым, если ; при управляемом разбеге происходит плавное нарастание величины от нулевого значения до .

Выбегом машины называется процесс перехода от установившегося движения к состоянию покоя. При свободном выбеге двигатель отключается, остановка машины происходит за счет сил сопротивления. В режиме торможения при отключении двигателя создается дополнительный тормозной момент, ускоряющий процесс выбега. При динамическом торможении кинетическая энергия машины рекуперируется, то есть возвращается тем или иным способом источнику энергии.

Часто в связи с изменением характеристик рабочего процесса в машине осуществляется переход от одного установившегося режима к другому. При этом происходит переходный процесс, связанный с изменением нагрузки.

. (8.27)

В соответствии с (8.10) , где s – крутизна статической характеристики двигателя. По аналогии введем величину

, (8.28)

которую назовем крутизной среднего момента сил сопротивления. Учитывая (8.26), из (8.27) получаем:

.

Рассматриваемое установившееся движение является устойчивым, если общее решение этого уравнения стремится к нулю с ростом t. Величину назовем механической постоянной времени машины.

Отсюда находим условия устойчивости рассматриваемого решения:

или . (8.29)

Пользуясь этим условием, легко определить, что решение, соответствующее точке А на рис. 8.4, является неустойчивым, а точке В – устойчивым.

Предположим, что вследствие изменения параметров раб. процесса или других сил сопротивления средний момент получил некоторое приращение (см. рис. 8.4). При этом точка B пересечения графиков перейдет в ; тем самым средняя угловая скорость изменится и станет равной . С точностью до малых величин второго порядка и вблизи точки В можно заменить касательными к ним. При этом имеем

.

Величину (8.30)

будем называть коэффициентом чувствительности или просто чувствительностью исследуемого режима к изменению нагрузки.

Чувствительность является важной характеристикой установившегося режима движения. При большой чувствительности средняя угловая скорость может резко измениться даже при слабых увеличениях нагрузки, неизбежных в реальных условиях эксплуатации машины. В таких случаях надо предпринимать меры для снижения чувствительности. Одной из таких мер является введение регулятора скорости, обеспечивающего увеличение входного параметра при увеличении нагрузки, то есть переводящего двигатель на другую рабочую характеристику, при которой увеличенной нагрузке соответствует прежняя величина средней угловой скорости.

Регулятор скорости реализует управление

движением машины по принципу обратной связи; с этой целью чаще всего на роторе двигателя устанавливается датчик, измеряющий его среднюю угловую скорость ; если она оказывается ниже номинальной , в регуляторе создается сигнал , пропорциональный разности и увеличивающий значение входного параметра; при формируется отрицательный сигнал . Такая система стабилизации угловой скорости называется тахометрической отрицательной обратной связью.

Другой способ понижения чувствительности состоит в использовании коробки скоростей или вариатора – передаточного механизма с изменяемым передаточным отношением (п. 3.3). При увеличении нагрузки в исполнительном механизме передаточное отношение увеличивается (оператором, работающем на машине, или автоматически); тем самым величина среднего момента сил сопротивления, приведенного к выходному валу двигателя, снижается до прежней величины.