1. Что называется матрицей размера m×n? Матрицей А размером m*n называется таблица из чисел, имеющая m сток и n столбцов. Числа, которые стоят в матрице называются ее элементами.

2. В каком месте матрицы A=(aij) расположен элемент aij? Числа aij, составляющие матрицу, называются ее элементами; первый индекс указывает на номер строки, второй - на номер столбца.

3. Какая матрица называется квадратной?  Квадратная матрица- матрица размером m*n, у которой число строк и столбцов равно

5. Может ли матрица состоять из одного столбца? Да

6. Может ли матрица состоять из одного элемента? Да

7. Какая матрица называется диагональной? Матрица называется диагональной, если все элементы, стоящие вне главной диагонали равны нулю.

8. Может ли какой-нибудь элемент главной диагонали aii диагональной матрицы быть равным нулю? Нет

9. Какая матрица называется верхней треугольной? Квадратная матрица, у которой элементы, стоящие под главной диагональю равны нулю, называется верхней треугольной.

10. Какая матрица называется нижней треугольной? Квадратная матрица, у которой элементы, стоящие над главной диагональю равны нулю, называется нижней треугольной.

11. Могут ли быть равны квадратные матрицы, одна из которых второго порядка, а другая ― третьего? Нет, потому что матрицы A = (a_{i j}) и B = (b_{i j}) называются равными, они одинакового размера и если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть A = B, если a_{i j} = b_{i j}.

12. Какая матрица называется симметричной? Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали.

13. Какая матрица называется единичной? Если диагональные элементы диагональной матрицы равны 1, то такая матрица называется единичной.

14. Какая матрица называется нулевой? Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

15. Дайте определение суммы матриц. Суммой матриц А=(aij) и В=(bij) одинаковых размеров называется матрица С=(cij) тех же размеров, у которой сij=aij+bij. Складывать можно только матрицы одного размера.

16. Можно ли найти сумму двух матриц, одна из которых имеет размер 3×4, а другая ― 4×3? Нет, т.к. складывать матрицы можно только одного размера.

17. Дайте определение произведение матрицы на действительное число. Произведением матрицы А=(аij)  на действительное число    называется такая матрица В=  *А  той же размерности, что и матрица А,  каждый элемент которой bij представляет собой произведение соответствующего элемента матрицы   на число  :

18. Перечислите свойства линейных операций над матрицами. В тетр

19. Дайте определение транспонирования матрицы. Транспонирование матрицы это замена строк матрицы ее столбцами.

20. Перечислите свойства операции транспонирования. В тетр

21. Дайте определение произведения матриц. Произведением матриц А=(aij) размера m*n и В=(bij) размером m*k называется матрица С=(cij) размером m*p, где Сik=∑ определённой (конечной) сумме aijbij =ai1b1k+ai2b2k+…+ainbnk по j от 1 до N. Две матрицы можно умножить тогда и только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

22. Перечислите свойства произведения матриц.

23. Существует ли произведение матриц AB, если матрица A имеет размер 3×4, а матрица B ― 4×2? Да, т.к. Две матрицы можно умножить тогда и только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк строк матрицы.

24. Существует ли произведение матриц BA, если матрица A имеет размер 3×4, а матрица B ― 4×2? Нет, т.к. . Две матрицы можно умножить тогда и только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк матрицы.

25. Можно ли найти произведение двух матриц, одна из которых квадратная, а другая не является квадратной? Можно. Допустим матрица 3*3 и матрица 3*2. Т.к. две матрицы можно умножить тогда и только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы

26. Может ли произведение двух ненулевых матриц быть нулевой матрицей? Да

27. Может ли квадрат ненулевой матрицы быть нулевой матрицей? Нет

28. Дайте определение матрицы, обратной к квадратной матрице. Матрица А(-1) называется обратной к квадратной матрице А, если А(-1)*А=А*А(-1)=Е.

29. Перечислите свойства обратных матриц. Свойства обратной матрицы

• ,

•  для любых двух обратимых матриц A и B.

•  

•  для любого коэффициента   .

30. В чем состоит метод элементарных преобразований нахождения обратной матрицы? Метод гаусса (А|Е)

31. Дайте определение определителя квадратной матрицы второго порядка.

Определитель квадратной матрицы   второго порядка вычисляется по формуле:

32. Дайте определение определителя квадратной матрицы третьего порядка.

Определитель квадратной матрицы   третьего порядка вычисляется по формуле:

33. Дайте определение перестановки. Перестановкой из n чисел называется всякое расположение чисел 1,2,3….n в некотором определенном порядке. Число различных перестановок из n чисел равно n!=1*2*3*…*(n-1)n

34. Какая перестановка называется четной (нечетной)? Перестановка называется четной, если в ней четное кол-во инверсий и нечетной в противном случае.

35. Дайте определение определителя n-го порядка. Определителем матрицы А n-го порядка называется чило равное n! произведения (*), составленное со следующим правилом знаков: произведение +(-), если вторные индексы образуют четную(нечетную) перестановку.

36. С каким знаком в определитель четвертого порядка входит слагаемое a11a23a34a42?

37. Чем отличается минор M75 от алгебраического дополнения A75? Алгебраическим дополнением элемента   матрицы   называется число

,

где   — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы   путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.

38. Чему равен определитель треугольной матрицы? Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на её главной диагонали 

39. Чему равен определитель диагональной матрицы? Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов

40. Перечислите свойства определителей. В тетр

41. Дайте определение минора Mij элемента aij. Минором Mij элемента aij называется определитель матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

42. Дайте определение алгебраического дополнения Aij элемента aij. Алгебраическим дополнением называется Aij=(-1)^i+j * Mij

43. Какая матрица называется невырожденной? Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.

44. Сформулируйте следствие из теоремы Лапласа (разложение определителя по строке или столбцу). разложение определителя по строке или столбцу позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Пусть A = (a_ij) — квадратная матрица размера  . Пусть также задан некоторый номер строки i либо номер столбца j матрицы A. Тогда определитель A может быть вычислен по следующим формулам:

Разложение по i-й строке:

Разложение по j-му столбцу:

45. Сформулируйте необходимое и достаточное условие обратимости квадратной матрицы. У квадратной матрицы А существует обратная матрица тогда и только тогда когда матрицы А невырожденная. (ее определитель отличен от нуля)

46. В чем состоит метод присоединенной матрицы вычисления обратной матрицы? метод элементарных преобразований, Метод гаусса (А|Е)

47. Дайте определение ранга матрицы (три эквивалентных определения). Рангом системы строк (столбцов) матрицы A с m строк и n столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Ранг матрицы — Размерность образа dim(im(A)) линейного оператора, которому соответствует матрица.

48. Перечислите свойства ранга матрицы. в тетр

49. Перечислите элементарные преобразования матрицы, не меняющие ранга матрицы. в тетр

50. В чем состоит метод окаймляющих миноров вычисления ранга матрицы? в тетр

51. В чем состоит метод элементарных преобразований вычисления ранга матрицы? в тетр

52. Какой метод для вычисления обратной матрицы седьмого порядка предпочтительнее: метод присоединенной матрицы или метод элементарных преобразований?

53. Какой метод для вычисления ранга матрицы размера 3×8 предпочтительнее: метод окаймляющих миноров или метод элементарных преобразований?

54. Может ли ранг матрицы размера 5×8 равняться двум?

55. Может ли ранг матрицы размера 5×8 равняться семи?

56. Что такое матрица системы линейных уравнений?

57. Что такое расширенная матрица системы линейных уравнений?

58. Что называется решением системы линейных уравнений?

59. Какая система линейных уравнений называется однородной?

60. Какая система линейных уравнений называется неоднородной?

61. Какая система линейных уравнений называется совместной?

62. Какая система линейных уравнений называется несовместной?

63. Какая система линейных уравнений называется определенной?

64. Какая система линейных уравнений называется неопределенной?

65. Может ли неопределенная система линейных уравнений быть несовместной?

66. Может ли однородная система линейных уравнений быть несовместной?

67. Может ли система линейных уравнений иметь ровно два решения?

68. Что такое общее решение системы линейных уравнений?

69. В каком случае две системы линейных уравнений называются эквивалентными?

70. Может ли система линейных уравнений, состоящая из семи уравнений с пятью неизвестными, быть эквивалентной системе четырех уравнений с пятью неизвестными?

71. Перечислите элементарные преобразования системы линейных уравнений, в результате которых получается система, эквивалентная исходной.

72. Перечислите методы решения систем линейных уравнений.

73. В чем состоит метод Гаусса решения систем линейных уравнений?

74. В чем состоит метод обратной матрицы решения систем линейных уравнений?

75. В чем состоит метод Крамера решения систем линейных уравнений?

76. Применим ли метод обратной матрицы к неопределенной системе линейных уравнений?

77. Сформулируйте теорему Кронекера-Капели.

78. Какие неизвестные системы линейных уравнений называются главными (базисными)?

79. Какие неизвестные системы линейных уравнений называются свободными?

80. Что называется фундаментальной системой решений однородной системы линейных уравнений?

81. Какова структура общего решения однородной системы линейных уравнений?

82. Какова структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений?

83. Сколько решений содержит фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений с шестью неизвестными, имеющая ранг 4?

84. Дайте определение линейного оператора.

85. Что такое матрица линейного оператора относительно заданных базисов?

86. Что называется суммой линейных операторов?

87. Дайте определение произведения линейного оператора на число.

88. Дайте определение произведения линейных операторов.

89. Какой линейный оператор называется нулевым?

90. Какой линейный оператор называется тождественным?

91. Дайте определение собственного вектора и собственного значения линейного оператора.

92. Что такое характеристическое уравнение линейного оператора (матрицы)?

93. Многочленом какой степени является характеристический многочлен матрицы пятого порядка?

94. Сколько различных собственных значений может иметь матрица третьего порядка?

95. Дайте определение квадратичной формы.

96. Дайте определение матрицы квадратичной формы.

97. Дайте определение ранга квадратичной формы.

98. Всегда ли матрица квадратичной формы является квадратной?

99. Как преобразуется матрица A квадратичной формы при невырожденном линейном преобразовании φ?

100. Меняется ли ранг квадратичной формы при невырожденном линейном преобразовании?

101. Как связан ранг квадратичной формы с числом отличных от нуля коэффициентов в каноническом виде, к которому приводится эта форма?

102. Сформулируйте закон инерции квадратичных форм.

103. Является ли нормальный вид квадратичной формы ее каноническим видом?

104. Какая квадратичная форма называется положительно определенной?

105. В каком случае квадратичная форма называется отрицательно определенной?

106. Сформулируйте критерий Сильвестра.

107. Сформулируйте критерий положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы, связанный с собственными значениями матрицы квадратичной формы.

108. Дайте определение n-мерного вектора.

109. Что такое размерность вектора?

110. Когда два вектора называются равными?

111. Могут ли быть равными два вектора, один из которых четырехмерный, а другой пятимерный?

112. Дайте определение суммы двух n-мерных векторов.

113. Какой вектор называется нулевым?

114. Дайте определение разности двух n-мерных векторов.

115. Дайте определение произведения вектора на число.

116. Какие векторы получаются из вектора ā умножением на числа 0 и -1?

117. Перечислите свойства линейных операций над векторами.

118. Дайте определение n-мерного векторного пространства.

119. Дайте определение скалярного произведения двух n-мерных векторов.

120. Перечислите свойства скалярного произведения.

121. Дайте определение линейной комбинации векторов.

122. Какие векторы называются линейно независимыми?

123. какие векторы называются линейно зависимыми?

124. Может ли система из четырех трехмерных векторов быть линейно независимой?

125. Может ли система векторов, содержащая нулевой вектор быть линейно независимой?

126. Может ли система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему быть линейно независимой?

127. Дайте определение базиса системы векторов.

128. Дайте определение базиса n-мерного векторного пространства.

129. Что такое размерность векторного пространства?

130. Сформулируйте необходимое и достаточное условие того, чтобы система векторов являлась базисом n-мерного векторного пространства.

131. Какие числа называются координатами вектора в данном базисе?

132. Однозначно ли определяются коэффициенты разложения вектора по базису?

133. Дайте определение нормы вектора.

134. Напишите неравенство Коши-Буняковского.

135. Дайте определение евклидова пространства.

136. Сформулируйте условие ортогональности векторов.

137. Сформулируйте условие коллинеарности векторов.

138. Как найти расстояние между точками на плоскости, если известны их координаты?

139. Как найти расстояние между точками пространства, если известны их координаты?

140. Как найти координаты середины отрезка, если известны координаты концов этого отрезка (на плоскости, в пространстве)?

141. Напишите общее уравнение прямой на плоскости.

142. Напишите уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом и начальной ординатой.

143. Напишите уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку.

144. Напишите уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки.

145. Напишите уравнение прямой на плоскости, если известна нормаль и точка, через которую проходит эта прямая.

146. Как найти расстояние от точки до прямой на плоскости, если известны координаты точки и общее уравнение прямой?

147. Как найти угол между прямыми на плоскости, если известны их угловые коэффициенты?

148. Как найти угол между прямыми на плоскости, если известны их общие уравнения?

149. Сформулируйте условие параллельности прямых на плоскости.

150. Сформулируйте условие перпендикулярности прямых на плоскости.

151. Как найти координаты точки пересечения двух прямых на плоскости, если известны их уравнения?

152. Как вычислить расстояние между двумя параллельными прямыми на плоскости, заданными общими уравнениями?

153. Напишите общее уравнение кривой второго порядка.

154. Дайте определение эллипса.

155. Напишите каноническое уравнение эллипса.

156. Что такое полуоси эллипса?

157. Что называется эксцентриситетом эллипса?

158. Сколько осей симметрии имеет эллипс?

159. Дайте определение гиперболы.

160. Напишите каноническое уравнение гиперболы.

161. Что такое полуоси гиперболы?

162. Что называется эксцентриситетом гиперболы?

163. Сколько осей симметрии имеет гипербола?

164. Сколько асимптот имеет гипербола?

165. Как найти уравнения асимптот гиперболы, если известно ее каноническое уравнение?

166. Дайте определение параболы.

167. Что называется параметром параболы?

168. Можно ли, зная только параметр параболы, найти расстояние от ее фокуса до вершины?

169. Сколько осей симметрии имеет парабола?

170. Напишите каноническое уравнение параболы.

171. Напишите общее уравнение плоскости.

172. Что называется нормальным вектором плоскости в пространстве?

173. Напишите уравнение плоскости, перпендикулярной заданному вектору и проходящей через заданную точку.

174. Напишите уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой.

175. Как определить расстояние от точки до плоскости, если известны координаты точки и общее уравнение плоскости?

176. Как определить угол между плоскостями, если известны их общие уравнения?

177. Сформулируйте условие параллельности двух плоскостей.

178. Сформулируйте условие совпадения двух плоскостей.

179. Напишите условие перпендикулярности двух плоскостей.

180. Сформулируйте условие совпадения двух прямых на плоскости.

181. Напишите каноническое уравнение прямой на плоскости.

182. Напишите каноническое уравнение прямой в пространстве.

183. Напишите параметрические уравнения прямой на плоскости.

184. Напишите параметрические уравнения прямой в пространстве.

185. Напишите уравнение прямой в пространстве как линии пересечения двух плоскостей.

186. Как найти координаты направляющего вектора прямой, которая задана как линия пересечения двух плоскостей?

187. Как найти угол между прямыми в пространстве, если известны их направляющие вектора?

188. Как найти угол между прямыми в пространстве, если известны их канонические уравнения?

189. Напишите условие параллельности двух прямых в пространстве/

190. Напишите условие перпендикулярности двух прямых в пространстве.

191. Как найти угол между прямой и плоскостью, если известны общее уравнение плоскости и каноническое уравнение прямой?

192. Как найти угол между прямой и плоскостью, если известны координаты нормали плоскости и координаты направляющего вектора прямой?

193. Сформулируйте условие параллельности прямой и плоскости.

194. Сформулируйте условие перпендикулярности прямой и плоскости.

195. Что такое технологическая матрица?

196. Что называется допустимым решением задачи оптимизации?

197. Как формулируется общая задача линейного программирования?

198. Как связаны между собой исходная и двойственная задачи линейного программирования?

199. В чем заключается основное неравенство теории двойственности?

200. Может ли задача линейного программирования с двумя переменными быть двойственной к задаче с пятью переменными?