Вращательное движение твердого тела вокруг (около) неподвижного полюса

Цель – определить кинематические элементы: векторы угловой скорости, углового ускорения абсолютно твердого тела при его вращении вокруг неподвижного полюса, а также векторы скоростей и ускорений некоторых точек тела при указанном движении.

Краткие сведения из теории

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвиж-ного полюса называется такое его движение, при котором одна точка твердого тела (или точка, неизменно связанная с ним) остается неподвижной относительно выбранной системы отсчета.

Т очка О – неподвижная точка твердого тела – является началом двух систем координат (рис. 2.1): Oxyz – неподвижная (инерциальная) система координат, неизменно связанная с выбранной системой отсчета; Oξηζ – неизменно связанная с движущимся телом система координат.

Рис. 2.1

Положение твердого тела относительно неподвижной системы координат определяется углами Эйлера:

,

где – угол ротации или собственного вращения; – угол прецессии; – угол нутации; – ось нутации (линия узлов) – линия пересечения плоскостей yOz и ηОζ .

Кинематические характеристики вращательного движения твердого тела вокруг (около) неподвижного полюса

К кинематическим характеристикам твердого тела, вращаю-щегося вокруг (около) неподвижного полюса, относятся угловая скорость и угловое ускорение . Угловой скоростью вращения твердого тела вокруг (около) неподвижного полюса называется векторная физическая величина, изображаемая закрепленным вектором, имеющим начало в неподвижном полюсе, и полностью характеризующая вращение данного тела вокруг (около) этого полюса. В проекциях на оси ротации, прецессии и нутации (рис. 2.2) угловая скорость записывается в виде

,

где – угловая скорость ротации или собственного вращения; – угловая скорость прецессии; – угловая скорость нутации; – орты осей (ротации), (прецессии), (нутации), соответственно.

П р и м е ч а н и е: – орты неподвижной системы координат Oxyz,  орты связанной системы координат Oξηζ.

Р ис. 2.2

Величина и направление угловой скорости определяются по алгебраическим величинам ее проекций на оси:

 неподвижной системы координат Oxyz:

;

; (2.1)

;

 связанной системы координат Oξηζ:

;

;

.

Величина угловой скорости

,

ее направление в системе координат Oxyz определяется направ-ляющими косинусами:

, ,

(аналогично определяется направление в системе координат Oξηζ).

Ось, проходящая через неподвижный полюс и коллинеарная с вектором угловой скорости твердого тела, называется мгновенной осью вращения твердого тела. Уравнение мгновенной оси вращения в системе координат Oxyz

,

в системе координат Oξηζ

.

Коническая поверхность с вершиной в неподвижной точке, представляющая геометрическое место мгновенных осей враще-ния в неподвижной системе координат Oxyz, называется непод-вижным аксоидом, в подвижной системе координат Oξηζ – подвижным аксоидом.

Угловым ускорением твердого тела, вращающегося около неподвижного полюса, называется векторная физическая вели- чина, изображаемая закрепленным вектором, имеющим начало в этом полюсе, и характеризующая изменение угловой скорости в данный момент времени как по величине, так и по направле- нию.

Вектор углового ускорения тела определяется как первая производная вектора угловой скорости по времени: .

Величина и направление углового ускорения могут быть найдены через алгебраические величины проекций на оси коорди- нат:

, , ,

здесь определяются по формулам (2.1):

,

направление вектора определяется направляющими косинусами углов:

, , .

П р и м е ч а н и е. Аналогично можно было бы определить .

Частный случай – регулярная прецессия – вращение твердого тела около неподвижного полюса, при котором во все время движения остаются постоянными угол нутации и величины угловых скоростей прецессии ( ) и собственного вращения (ротации) ( ):

, , .

В этом случае абсолютная величина угловой скорости

и вектор во все время движения находится в плоскости нутации xOξ (рис. 2.3).

Угловое ускорение определяется формулой

, (2.2)

а его линия действия во все время движения твердого тела будет совпадать с линией узлов (осью нутации) .

Рис. 2.3