Варианты заданий (условия задач)

Варианты 1–5. Диск D вращается вокруг неподвижной оси так, что уравнение её вращательного движения имеет вид: , , где k – заданная постоянная величина. По пластинке, по дуге ABC окружности радиусом R, движется точка M так, что траекторная координата этого движения изменяется согласно уравнению , где a, b, c – заданные постоянные величины (траекторная координата отсчитывается от точки H). Определить скорость и ускорение точки M относительно неподвижной системы отсчёта Oxyz в момент времени t = t₁.

Варианты 6–10. Диск D вращается вокруг неподвижной оси , перпендикулярной плоскости чертежа, так, что уравнение её вращательного движения имеет вид , . По ободу диска движется точка M, траекторная координата этого движения, отсчитываемая от точки H, изменяется согласно уравнению , где s₀, A₀, k – заданные постоян- ные величины. Определить скорость и ускорение точки M в момент времени t = t₁ относительно неподвижной системы отсчёта Oxyz.

Варианты 11–15. По окружности диска D радиусом R движется точка M так, что траекторная координата s, отсчиты-ваемая от точки H изменяется согласно уравнению , где a и b – заданные постоянные величины. Диск D ускоренно (или замедленно) вращается вокруг неподвижной оси , расположенной в плоскости диска, имея в момент времени t₁ проекции на ось вращения угловой скорости и углово- го ускорения . Определить скорость и ускорение точки M в момент времени t = t₁ относительно неподвижной системы отсчета Oxyz.

Варианты 16–20. Стержень AOB вращается ускоренно (или замедленно) вокруг неподвижной оси , имея в момент времени t₁ проекции на ось вращения угловой скорости и углового ускорения . По стержню движется точка M так, что уравнение её движения имеет вид: (отсчет производится от точки O), где – заданные постоянные величины. Определить скорость и ускорение точки M в момент времени t = t₁ относительно неподвижной системы отсчёта Oxyz.

Варианты 21–25. Диск D вращается вокруг неподвижной оси , расположенной в плоскости диска, с угловой скоростью рад/с. По радиусу диска в направлении оси движется точка M. Траекторная координата этого движения, отсчитываемая от точки H, изменяется согласно уравнению , где R, k, b, l – заданные постоянные величины. Определить скорость и ускорение точки M в момент времени t = t₁ относительно неподвижной системы координат Oxyz.

Исходные данные

№ вар.	a	l	R	k	b	c	t1
	м			рад с-2	м/с	м/с2	с
1	0 0,5 π -0,2 π	4,0 2,0 1,6	2,0 1,0 0,8	0,007 0,5 π 0,5	0,1π 0 0,8	0 -0,5 π 0,4	10,0 1,0 0,5
2	-0,8 π 0,2 π 0	3,2 0,8 2,4	1,6 0,4 1,2	0,5 1,25 2,0	0 0,1π -0,6 π	0,2 π 0,1π -1,2 π	2,0 1,0 0,5
3	0,2 π 0 -0,8 π	0,4 1,2 1,6	0,4 1,2 1,6	0,5 π 2,0 1,0	0,1π -0,6 π 0	0,1π -1,2 π 0,2 π	1,0 0,5 2,0
4	-0,6 π 1,2 π 0	- - -	2,4 4,8 1,6	1,0 1,0 1/32	0,6π -1,2 π 0	1,2 π 2,4 π π/60	1,0 1,0 4,0
5	0 0 0	1,5	2,0 3,0 1,0	0,5 π 0,125 π 0,25 π	0 0 0	π -1,5 π 0,5 π	1,0 1,0 1,0

№ вар.	a	R	l	b	ωz	ε z	t1
	м			c-1	рад/с	рад/с2	с
11	π 2 π 0,4π	2,0 4,0 1,2	- - -	π/6 π/3 7π/4	2 -1 -3	-1,0 0,5 -1,0	1,0 0,5 1,0
12	0,4π 0,6π 1,2π	0,6 1,2 2,4	- - -	π/3 π/6 7π/4	3 2 -4	1,0 -0,5 2,0	0,5 1,0 1,0
13	3π 1,2 π 1,5π	9,0 1,8 3,0	0,7 0,9 1,0	π/3 π/2 7π/2	2 -1 3	-2,0 1,0 0,5	1,0 1/3 0,5
14	0,6 π 1,6 π 0,8π	1,2 2,4 0,8	0,6 1,0 0,8	π π/6 10π/3	-4 2 -3	1,0 1,0 2,0	1/6 1,0 0,5
15	1,6 π 5 π 2π	3,2 5,0 6,0	1,0 5,0 3,0	π/3 π/6 10π/3	2 3 -2	2,0 -1,0 1,0	0,5 1,0 0,5

№ вар.	l	R	S0	A0	k	α	t1
	м				с-1	рад с-3	с
6	3,6	7,2	0	3,6 π	π/6	1/3	1,0
	1,0 2,7	2,4 5,4	-1,2 π 0	2,4 π 1,8 π	π/3 2π/3	1	0,5 0,25
7	- - -	6,0 1,8 3,6	3,5 π 0 0	3,0π 0,4 π 0,8 π	11π/3 π/3 5π/3	4 1 2/3	0,5 1,0 1,0
8	0,6 2,4 4,2	1,2 4,8 8,4	0 -3,6 π 0	0,6π 2,4 π 4,2 π	π 0,5π π/3	9 4,5 1/25	1/3 2/3 5
9	- - -	4,8 2,4 3,6	3,6 π 0 0	2,4π 1,2π 1,8π	π π/3 11π/6	9/25 4 1	5/3 0,5 1,0
10	2,25 1,8 4,0	4,5 3,6 8,0	0 0 6 π	1,5π 1,2π 4π	π/6 11π/3 11π/6	1 4 1/3	1,0 0,5 1,0

№ вар.	a	AO	OB	ξ0	b	ωz	εz	t1
	м				с-1	рад с-1	рад с-2	с
16	0,20 0,80 0,05	1,0 0,8 0,4	1,0 0,8 0,4	-0,5 0 0,2	π π/4 2π	1,0 0,5 -0,5	0,5 -0,5 -1,0	1/3 2/3 4/3
17	0,2 0,1 0,3	2,0 1,6 3,0	1,0 0,8 1,5	0,5 0,4 1,0	π π/4 2 π	2,0 -1,0 0,5	1,0 1,0 -1,0	1/3 2/3 4/3
18	0,3 0,45 0,5	1,2 1,8 2,0	0,6 0,9	0,3 0,45 0,5	0,5 π 0,5 π 0,5 π	2,0 0,5 4,0	-1,0 -1,0 2,0	3,0 1,0 2,0
19	0,5 0,8 0,6	0,4 0,6 0,8	1,0 1,6 1,2	0,5 0,8 0,6	3π π π/4	2,0 -2,0 0,5	1,0 2,0 -0,5	0,5 1,0 2,0
20	0,2 0,3 0,2	0,8 /3 1,2 /3	1,2 1,2 0,5	0,4 0,6 0,2	3 π π π/2	3,0 -1,0 0,5	1,0 2,0 -0,5	0,5 1,0 1,0

№ вар.	R	l	b	k	t1
	м		с-1	рад c-2	с
21	2,0 4,0 1,2	0 0 0	π/6 π/3 7π/4	2 4 1	1,0 0,5 1,0
22	0,6 1,2 2,4	0 0 0	π/3 π/6 7π/4	2 3 4	0,5 1,0 1,0
23	9,0 1,8 3,0	0,3 0,5	π/3 π/2 7π/2	2 3 4	1,0 1/3 0,5
24	1,2 2,4 0,8	0 0 0	π π/6 10π/3	3 1 2	1/6 1,0 0,5
25	3,2 5,0 6,0	0,2 0,8	π/3 π/6 10π/3	4 1 1	0,5 1,0 0,5

П р и м е р (см. рис. 4.1). м, R = 2,4 м, с^-1, = 2 рад/с, =- 1 рад/с², t₁ = 1,0 с.

Рис. 4.1

Определим положение точки M в заданный момент времени.

Траекторная координата при t = t₁:

м.

Найдем угол ψ, на который повернется радиус O₁M из начального положения (O₁H) в данное:

.

Изобразим текущее положение точки M.

1. Относительное движение – движение точки M по окружности радиуса R.

Относительная скорость точки M:

м/с.

Так как проекция относительной скорости на направление касательной к траектории положительна, то вектор относительной скорости направлен по касательной к окружности в сторону положительного отсчета дуги.

Относительное ускорение при движении точки по окружности складывается из нормального и касательного ускорений:

.

Нормальное ускорение

м/с².

Нормальное ускорение направляем к точке O₁ – центру окружности.

Касательное ускорение

м/с².

Так как проекция относительного ускорения на направление касательной к траектории отрицательна, то вектор касательного ускорения направлен по касательной к окружности в сторону отрицательного отсчета дуги, т.е. относительное движение точки замедленное.

2. Переносное движение – вращение диска D вокруг неподвижной оси .

Так как , то вектор угловой скорости направлен в сторону оси ; так как , то вектор углового ускорения направлен в сторону, противоположную оси , т.е. переносное движение замедленное.

Точка M перемещается по окружности радиусом м.

Переносная скорость точки M

м/с.

Если смотреть с конца вектора , то диск D поворачивается против часовой стрелки, т.е. вектор переносной скорости направлен на нас.

Переносное ускорение точки M при вращении диска вокруг неподвижной оси складывается из осестремительного и вращательного:

.

Осестремительное ускорение

м/с².

Вектор направлен по перпендикуляру MN к оси вращения .

Вращательное ускорение

м/с².

Так как и направлены в противоположные стороны, то направлено в сторону, противоположную , т.е. за чертеж.

3. Ускорение Кориолиса.

Направление вектора ускорения Кориолиса определяется по формуле , т.е. направлен перпендикулярно плоскости чертежа на нас. Величина ускорения Кориолиса опреде-ляется по формуле = 4,19 м/с².

4. Абсолютное движение – движение точки M относительно неподвижной системы отсчета Oxyz (сложное).

Абсолютная скорость

.

Так как и взаимно перпендикулярны, то модуль абсолютной скорости определим по теореме Пифагора:

.

Абсолютное ускорение

.

В нашей задаче

.

Проецируя это равенство на оси неподвижной системы координат Oxyz, получим:

-8,27 м/с²;

м/с²;

м/с²;

 м/с². Строить векторы и на рисунке не нужно.