7. Касательные напряжения при изгибе

При плоском поперечном изгибе в поперечном сечении балки возникают не только нормальные, но и касательные напряжения, которые можно определить по формуле Д.И.Журавского.

Пусть необходимо вычислить касательные напряжения в точках поперечного сечения, расположенных на расстоянии y от нейтральной оси x (рис. 4.60). Если обозначить через - статический момент площади, расположенной выше точки, в которой определяются касательные напряжения, (отсеченной части) относительно нейтральной оси сечения, ширину отсеченной части сечения, формула Д.И.Журавского имеет вид

(4.14)

Рис. 4.60. К определению касательных напряжений по формуле Д.И. Журавского

Из формулы (4.14) следует, что касательные напряжения не зависят от материала балки и не изменяются по ее ширине. Распределение касательных напряжений по высоте сечения зависит от его формы; в наиболее удаленных от нейтральной линии волокнах касательные напряжения равны нулю.

Эпюры распределения касательных напряжений по высоте сечения для некоторых форм поперечных сечений балок приводится в разделе «Приложения».

В металлических балках сплошного се­че­ния величина касательных напряжений по срав­нению с нормальными напряжениями обы­ч­но невелика, и про­верять прочность по касательным напряжениям, как пра­­вило, нет необходимости.

8. Расчет балок на прочность по нормальным напряжениям

Условие прочности при изгибе для пластичных материалов записывается в виде

. (4.15)

Если балка изготовлена из материала, неодинаково со­про­тив­ля­юще­гося ра­­­­­с­тя­жению и сжатию, и эпюра М имеет участки разных знаков, то следует дополнительно провести расчет на прочность по растягивающим напряжениям для сечения, где имеется наибольший момент противоположного зна­ка.

Как правило, речь идет о хрупких материалах, имеющих существенно различные пределы прочности при растяжении и сжатии . В этом случае требуется проверка прочности по наибольшим растягивающим и наибольшим сжимающим напря­­жениям :

;

где y_p – ордината точки, находящейся в растянутой зоне сечения и наиболее удаленной от нейтральной линии; y_сж – ордината точки, наиболее удаленной от нейтральной линии и находящейся в сжатой зоне сечения; - допускаемое напряжение материала при растяжении; - допускаемое напряжение материала при сжатии.

Используя условие прочности при изгибе, можно решить три основных за­дачи сопротивления материалов:

1). Подбор поперечного сечения балки.

С этой целью для заданной балки следует построить эпюру изгибающих моментов и с ее помощью определить , а из условия прочности - необходимый (требуемый) осевой момент сопротивления сечения при изгибе

.

Примечание: - наибольший по модулю изгибающий момент, действующий в поперечном сечении.

Определив требуемый момент сопротивления , можно достаточно просто найти размеры поперечного сечения балки, если оно представляет собой одну из простых геометрических фигур (прямоугольник, круг, кольцо и т.д.) или может быть разбито на простые геометрические элементы.

Пример 4.14. Определить размеры поперечного сечения стальной балки, рассмотрев следующие их варианты:

- прямоугольное b×h при h=2b,

- круглое, диаметром d,

- кольцевое, внешний диаметр которого D, внутренний диаметр d (соотношение внешнего и внутреннего диаметров ).

Максимальный изгибающий момент, действующий в поперечном сечении, . Допускаемое нормальное напряжение [ ]=160 МПа.

Требуемый из условия прочности осевой момент сопротивления

.

Обратите внимание на то, что величина требуемого осевого момента сопротивления не зависит от того, какую форму поперечного сечения будет иметь рассматриваемая балка.

1. Подбор прямоугольного сечения

Для определения размеров прямоугольного сечения приравняем величину требуемого осевого момента сопротивления осевому моменту сопротивления прямоугольника, учитывая, что h=2b

,

следовательно, ,

2. Подбор кругового сечения

Минимальное значение осевого момента сопротивления круга, при котором удовлетворяется условие прочности, позволяет найти диаметр балки круглого поперечного сечения

.

3. Подбор кольцевого сечения

Аналогично определяются размеры кольцевого сечения балки

При подборе поперечного сечения балки из прокатного профиля (двутаврового, швеллерного), следует в таблицах сортамента найти нужный номер профиля, момент сопротивления ко­торого наиболее близок к необходимому.

Превышение напряжений в поперечном сечении по сравнению с допускаемыми не должно быть больше 5%.

Пример 4.15. Подобрать поперечное сечение стальной балки:

-

двутаврового профиля,

- швеллерного профиля,

- составного сечения, состоящего из двух швеллеров

Максимальный изгибающий момент, действующий в поперечном сечении, . Допускаемое нормальное напряжение [ ]=160 МПа.

1. Подбор двутаврового профиля.

Требуемый момент сопротивления , в таблице сортамента прокатной стали (см. «Приложения: сталь горячекатаная, Гост 8239-72») находим двутавровое сечение, имеющее осевой момент сопротивления, близкий к требуемому.

Наиболее подходящим является двутавровый профиль № 18а, осевой момент сопротивления которого .

2. Подбор швеллера

Для выбора подходящего по условию прочности швеллера используем

Гост 8240-72. Выбираем швеллерный профиль №20а с осевым моментом сопротивления .

3. Подбор составного сечения из двух швеллеров

Прежде чем подбирать подходящие швеллеры, образующие составное сечение балки, запишем выражение для вычисления его главного центрального момента инерции

.

Очевидно, что осевой момент сопротивления сечения

,

и осевой момент сопротивления одного швеллера, входящего в составное сечение

По Гост 8240-72. Выбираем швеллерный профиль №14а с осевым моментом сопротивления .

2). Определение максимального значения допускаемого изгибающего момента , если форма поперечного сечения балки и его размеры заданы.

С этой целью после вычисления осевого момента сопротивления условие прочности следует представить в виде:

.

3). Проверка прочности балки.

Для проверки прочности балки при расчете по допускаемым нормальным напряжениям необходимо:

- построить эпюру изгибающих моментов М и с ее помощью установить (его значение, максимальное по модулю);

- зная форму и размеры поперечного сечения, найти - момент сопротивления сечения при изгибе, т.е. вычислить простой или составной геометрической фигуры. Если сечение представляет собой прокатный профиль или составлено из прокатных профилей следует использовать в расчетах таблицы сортамента прокатной стали, алюминиевых сплавов и т. д.

- по формуле

вычислить - максимальные нормальные напряжения, действующие в поперечном сечении балки;

- проверить справедливость выполнения условия прочности при изгибе

.