Пустьдана §. Найдём . Из преобразованияифференцирования получим embed Equation.2uation.2 µ §. В векторной форме

EMBED Eз_àêон преобразования скоростей.

Следует:

1). Если äвижется одно и то_рость в разных ИСО рa_tion.2 µ §, гдеительная, - переносная скорости. При << 1 получаем ньютоновское сложение скоростей, т.е. =  + .

2). Закон удовлетворяет принципу постоянства скорости света. Пусть U = c, тогда .

3). При сложении двух скоростей сколь угодно близких к скорости света, результирующая скорость всегда будет меньше неё.

, т.е. U < c .

5. Элементы релятивистской динамики.

Закон Ньютона в форме - инвариантен к преобразованиям Галилея, но неинвариантен к преобразованиям Лоренца. Если представить , где - скорость тела в избранной ИСО, m₀ - масса покоя тела (инвариантная величина), c - скорость света, то - закон Ньютона становится инвариантным к преобразованиям Лоренца.

Анализ:

1). При переходе от одной ИСО к другой должны соответствующим образом преобразовываться компоненты и изменяться масса тела.

2). . Интегрируем это выражение и получаем

, где G - постоянная.

Если при t = 0, U = 0, то G = 0. Решаем уравнение относительно U .

или m₀² U ² c ² = F ² t ² c² - F ² t ²U ². Отсюда

U ²(m₀² c ² + F ² t ² ) = F ² t ² c². Окончательно или

.

На рисунке:

I - релятивистская скорость, которая медленно нарастает, но U < c.

II - ньютоновская скорость, получается при F / m₀ t << c , т.е. . Область А - область ньютоновской механики.

3). - релятивистский импульс. В классической механике , т.е. когда U ² / c ² =  ² << 1 . Величина - называется релятивистской массой, тогда релятивистский импульс .

При U  0 1/ c² б/м, тогда m  m₀.

При U  c б/м, тогда m  .

Величина m₀ - инвариантная величина одинаковая для всех ИСО. Как и в ньютоновской механике масса является мерой инерции тела. Физически факт m  при U  c можно объяснить тем, что дальнейшее увеличение просто невозможно, т.е. скорость света недостижима.

При разложении

получаем m = m₀ (1 + 1/2  ² ) , т.е. релятивистская масса состоит из двух частей: m₀- масса покоя и m_дв = m₀ /2  ² - масса движения, которая является функцией кинетической энергии тела, т.к. , делённая на c² . Частицы с m₀ = 0 всегда движутся с U = c. При U < c они не существуют. У частиц с m₀ > 0 U должна быть < c .

4). Релятивистская энергия.

Из определения работы , тогда

. Преобразуем

=

.

После интегрирования W(E) = + Const . Константа в данном выражении была найдена Эйнштейном, причём она оказалась равной нулю. Окончательно получаем W(E) = = mc², где m = .

Анализ:

а). E = mc² - это закон взаимосвязи массы и энергии тела. Эквивалентность этих величин справедлива для любого вида энергии.

б). Пусть U = 0, т.е. тело покоится, тогда и E = m₀c² = E₀. Получили энергию покоя не связанную с движением тела. Это энергия, связанная с веществом и при определённых условиях, может перейти в электромагнитное излучение.

в). E - E₀ = - m₀c² - есть кинетическая энергия тела, равная разности энергий тела в движении и в покое. Кинетическая энергия в релятивистской механике обозначается Т, т.е.

T = m₀c² ( ) или

T = mc² - m₀c² . При U << c T = . Область А - область ньютоновской механики.

г). Закон сохранения энергии можно сформулировать в виде закона сохранения массы, так как каждой массе (или изменению массы) соответствует определённая энергия (изменение энергии): E ~ m.