- 18 -

Лекция 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ КУРСА ФИЗИКИ.

1. Скалярные и векторные величины.

Физические законы представляются в виде математических соотношений между физическими величинами, под которыми понимают измеряемые характеристики или свойства физических объектов (предметов, состояний, процессов). Каждая физическая величина представляет собой произведение численного значения на единицу её измерения. Поэтому никогда нельзя отбрасывать соответствующую единицу измерения (размерность). Различают скалярные и векторные величины. Скалярные - полностью характеризуются численным значением, единицей измерения и знаком. К ним относятся: положительные (отрицательные) целые, дробные, рациональные и иррациональные числа и ноль. Скалярные величины в математике изображаются точкой на числовой оси и с ними производятся все алгебраические действия: сложения, вычитания и т.д. Эти же действия справедливы и в физических вычислениях. Все вычисления в физическом эксперименте и расчеты необходимо проводить с числами, представленными в стандартном виде. Стандартным видом числа А называется его запись в виде , где 1 А<10, а n - целое число. Например: 0,000003 = 3 ^.10^-6, 108300 = 1,083 ^. 10⁵ .

Вектором называется величина, характеризующаяся численным значением и направлением. Изображается вектор направленным отрезком (лучом), длина которого равна модулю вектора , т.е. | |, а направление задаётся единичным вектором , причём | | = 1. Тогда = | | . В большинстве учебников векторы изображаются буквами латинского или греческого алфавита со стрелкой над ними, или этими же буквами, но набранными "жирным" шрифтом.

По физическому смыслу векторы подразделяются на связанные, скользящие и свободные. Например, вектор скорости ( ) для материальной точки (МТ) имеет конкретную фиксированную точку приложения, поэтому такой вектор называется связанным. Скользящий вектор, получается путём переноса данного вектора вдоль прямой, на которой он расположен. Например, вектор силы ( ), действующий на твёрдое тело (ТТ). Свободные векторы можно перемещать параллельно самим себе в плоскости и в пространстве. Векторы исходящие из одной точки (например, начало координат) и не перемещающиеся, называются орт-векторами. По взаимному расположению векторы различаются на компланарные (лежат в параллельных плоскостях), коллинеарные (направлены вдоль параллельных прямых) и ортогональные (взаимно перпендикулярные). Наиболее часто встречающиеся действия с векторами:

а). Два вектора считаются равными, если равны их модули и они совпадают по направлению;

б). Проекция вектора на произвольную ось, например ОХ, определяется как a _x = | | cosa, где a_x - проекция (скаляр), a - угол между векторами и ;

в). Любой вектор можно выразить через его проекции на координатные оси, т.е. = a _x + a_y + a _{z ,} где _{, ,} - единичные векторы, соответственно, вдоль осей X , Y , Z , a _{x ,} a_{y ,} a _z - проекции на эти же оси.

г). Сумму векторов находят по правилу параллелограмма (1), треугольника (2), многоугольника (3),

причём модуль результирующего вектора для случаев (1) и (2) находится по теореме косинусов (4) с² = a² + b² - 2abcos b или с² = a² + b² + 2abcosa, а сам результирующий вектор = + . В общем случае действие нахождения какого-то результата называется суммированием. Различают: алгебраическое a₁ + a₂ + a₃ + ...= _i и геометрическое (векторное) (для случая 3). Знак (å) означает суммирование.

д). Вычитание векторов. Для нахождения разности 2-х векторов и необходимо: совместить их начала в одной точке и соединить их концы. Результирующий вектор направлен от конца вычитаемого вектора , к концу вектора , из которого производится вычитание, т.е. = - .

В проекциях на одну ось (ОХ) это действие выразится: с_x = a_x - b_x, где a_x = | |, b_x = | |cosa. Отсюда: соответствующие проекции вычитаются алгебраически с учётом знаков проекций.

е). Умножение вектора на скаляр. Результатом такого действия является вектор , модуль которого (длина) равна | | = a | |, где a - скаляр, - исходный вектор. Направление вектора совпадает , если a > 0, и противоположно, если a < 0.

ж). Скалярное произведение 2-х векторов ( и ). Результат является числом (скаляр), которое равно ( ) = | | | |cosa, где a - угол между и . Знак произведения определяется значениями cosa. Обозначения такого действия: , ( ), ^. . Если вектора и заданы в декартовой системе координат, т.е. = a _x + a_y + a _z и = b_x + b_y + b_{z ,} то ( ) = a _x b _x + a_y b_y + a _z b _{z .}

з). Векторное произведение 2-х-векторов и . Результат - есть вектор длина которого равна | | = | | | | sina , т.е. определяется sina, а направление - перпендикулярно плоскости, в которой расположены и , причём все три вектора ( , , ) образуют правую тройку векторов (правило буравчика). Обозначение действия: [ ], ´ , [ ´ ]. Если и заданы в

декартовой системе (см. п.1.2), то

= [ ] = = (a_y b_z - a_z b_y ) ₊ (a_z b_x - a_x b_z ) ₊ (a_x b_y - a_y b_z ) _. и). Единичный вектор заданного направления ( ) - это вектор, модуль которого равен единице, т.е. | | = 1 или . Такой вектор используется для увеличения информации. Например, в законе всемирного тяготения, записанного в виде , величина F - скаляр, но сила - является вектором, поэтому .