1.5. Элементы интегрального исчисления.

Первообразной функцией F(x) для данной функции одной переменной y = f (x) определенной в некоторой области, называется такая функция, производная от которой равна данной, т.е. F¢ (x) = f (x) или dF(x) = f (x)^.dx .

Первообразных функций для одной данной множество, причём разность между двумя первообразными F₂(x) - F₁(x) = C - величина постоянная. Графики всех первообразных функций, F₁(x), F₂(x) ... представляют собой одну и ту же кривую, полученную её параллельным переносом вдоль оси ординат. Если дана функция f (x), изображённая кривой в декартовых координатах, то первообразная численно равна площади S(x) ограниченной кривой y = f (x), осью ОХ и двумя ординатами: постоянной АВ (х = а) и переменной CD(х). Рис. Выбирая произвольно постоянную a, получаем различные первообразные. Общее выражение F(x) + C для всех первообразных функций от данной функции называется неопределённым интегралом, т.е. F(x) + C = ò f (x)dx , где ò - знак интеграла, f (x) - подынтегральная функция, f ( x) dx - подынтегральное выражение.

Интегрирование - действие обратное дифференцированию. Свойства интеграла:

1). - (интеграл суммы).

2). ò a f (x) dx = a ò f(x) dx

3). Для f (x), где x = j (t) => ò f (x) dx = ò f (j (t)) j ¢ (t) dt - (правило подстановки).

4). ò u dv = uv - ò v du - (интегрирование по частям).

5). Интеграл вычисляют с точностью до постоянной, которую обозначают С.

6). Интеграл от ò df(x) = f (x)

Таблица интегралов:

Интеграл	ò xndx	ò dx/x	òsinxdx	òcosxdx	òtgxdx	òctgxdx	òexdx	ò axdx
Решение (первооб- разная)	x n+1/n+1 ( n ¹ -1)	ln½x½	-cosx	sinx	-lncosx	lnsinx	ex	ax/ lna

Определённым интегралом от функции y = f(x) - называется сумма бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых, т.е.

Геометрический смысл определённого интеграла - это число, равное площади под кривой y = f (x) в декартовых координатах, ограниченной ординатами: а - нижний, в - верхний пределы.

Всю площадь S_abcd можно заменить суммой площадей большого числа (n) прямоугольников DS_i = Dx_i ^. f(x_i), а затем взять предел, тогда

.

Выводы:

1). Оба интеграла определены как площади соответствующих фигур, причём нижний предел неопределённого интеграла выбран произвольно, т.е.

, а верхний равен независимой переменной х.

2). Определённый интеграл - это число, неопределённый - семейство функций. 3). - формула Ньютона-Лейбница для вычисления определённого интеграла. Геометрически - это разность 2-х соответствующих площадей.

6. Некоторые понятия из теории поля и векторного анализа.

Градиент поля U (r)- вектор, определённый в каждой точке поля, имеющий направление нормали к поверхности одинакового значения U (r) (в сторону возрастания U) и величину , т.е. (в декартовой системе)

Дивергенция вектора (div ) в какой-то точке М поля называется скаляр, определённый как предел отношения потока вектора сквозь замкнутую поверхность S, охватывающую точку М, к объёму V части поля, ограниченной поверхностью S, при неограниченном уменьшении V

где dF = ( ) - поток вектора , являющего характеристикой поля, через произвольную площадку , ориентированную в данном поле. В декартовых координатах .

Ротор вектора (rot ). Ротор поля - это вектор, определённый в каждой точке поля и являющийся объёмной производной этого поля, взятой с обратным знаком, т.е.

=

В декартовых координатах

Оператор Гамильтона (Ñ - набла) - символический вектор. В декартовых координатах

Оператор Лапласа (D - дельта) - скаляр.