2. Системы координат.

Положение МТ на плоскости может быть однозначно определено при помощи той или иной системы координат. Числа, определяющие положение точки, называются её координатами. Наиболее употребительны в физике прямоугольная декартовая и полярная системы координат.

Декартовыми координатами точки P называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в соответствующем масштабе) этой точки от 2-х взаимно перпендикулярных прямых - осей координат. Обычно горизонтальную ось называют осью абсцисс (осью ОХ), вертикальную - осью ординат (осью OY). Положительные направления этих осей выбираются обычно, соответственно, вправо и вверх. Запись Р(x, y) - означает, что точка P имеет абсциссу x и ординату y.

Полярными координатами точки P называются радиус - вектор - расстояние от данной точки до точки О (полюса), которая задана и угол j - угол между прямой ОР и заданной прямой, проходящей через полюс (полярной осью). Полярный угол положителен при отсчёте от полярной оси против часовой стрелки.

Декартовыми прямоугольными координатами называются взятые с определённым знаком расстояния точки P до 3-х взаимно перпендикулярных плоскостей P(x, y, z) или то же: проекции радиус-вектора до точки P на три взаимно перпендикулярные координатные оси.

Положение точки P в пространстве может определено при помощи декартовых, цилиндрических и сферических координат.

3. Функции и графики.

Для наглядности функциональные зависимости изображаются графически, а некоторые (показательная и логарифмическая) при расчётах и вычислении ошибок.

Функция вида y = a^x - называется показательной, где число a - называется основанием (см. график).

Свойства: a^x a^y = a^x+y (a^x) ^y = a^xy a⁰ = 1 a^x/a^y = a^x-y

Функция y = log_a x - называется логарифмической. Логарифмом данного числа N по основанию а называется показатель степени x, в которую нужно ввести основание, чтобы получить данное число, т.е. , где N > 0, a >0, a ¹ 1.

Если a = 10, то это десятичный логарифм lgN, если a = e ( е = 2,7) - натуральный (lnN). Их связь ln N = 2,303 lg N или lg N = 0,434 ln N. Формула замены основания логарифма .

Свойства: lg (ab) = lg a + lg b ,

lg (a/b) = lg a - lg b ,

lg a^m = m lg a ,

log _a 1 = 0

log _a a = 1

Функция y = kx + b называется линейной.

4. Производная и дифференциал.

Пусть в непрерывной области значений x существует функция y = ¦ (x) , которая удовлетворяет условиям дифференцирования (в физике они выполняются всегда).

Обозначим: x₁ - x = Dx и ¦(x₁) - ¦(x) = D ¦(x)

Из D₁₂₃ следует, что

- данное отношение характеризует скорость возрастания функции f (x) при возрастании аргумента x, причём оно зависит от выбора x и величины Dx. Пусть x₁ ® x, т.е. D ¦(x) и Dx ® 0 , тогда

. Этот предел называется производной от функции f (x).

Из определения следует:

1. Геометрический смысл производной - она равна tga касательной к кривой y = f (x) в точке x, если x и y - одинаковые величины (масштаб один).

2. f ¢ (x) >0 означает, что при увеличении x возрастает функция f(x) f¢ (x)< 0, при возрастании x функция f (x) - уменьшается. При f (x) = Const, f¢ (x) = 0. Соответственно прямые 1,2,3.

Свойства производной:

1. [ c j (x) ]¢ = cj¢ (x)

2.

3.

4.

5.

6. ,

где - называется частной производной.

7. Таблица простейших производных.

Функ ция	С	x	xn	ex	ax	ln x	lg x	sin x	cos x	tg x	ctg x
Производная	0	1	nxn-1	ex	ax lna	1/x	1/xlge	cosx	-sinx	1/cos2x	-1/sin2x

8. и т.д.

Уравнения, содержащие неизвестные функции, независимые переменные и производные любого порядка, называются дифференциальными. Наивысший порядок производной определяет порядок уравнения. Решить такое уравнение - это найти функцию, при которой уравнение превращается в тождество 0 = 0.

Дифференциал. Обозначается для переменных величин x, y, z и т.д. в виде dx,dy,dz ... и определяется различно в зависимости от того, является эта величина независимой переменной или функцией. Дифференциал независимой переменной х - это её приращение, которому можно придать любое значение (dx = Dx). Дифференциал функции y = f (x) одной переменной, при данном значении х и данном дифференциале аргумента dx есть выражение dy = f¢ (x)dx.

Смысл дифференциала - это главная линейная часть приращения функции по приращению аргумента. Полное приращение функции Dy можно представить в виде Dy = dy + O(Dx) = f¢ (x)dx + O(Dx), где O(Dx) - бесконечно малая величина более высокого порядка, чем Dx. Поскольку дифференциал независимой переменной dx по определению не отличается от Dx , то dy = y¢ dx. Из рисунка геометрический смысл dy - это приращение, которое получает ордината касательной к кривой y = f (x) в данной точке х при данном приращении dx.

Примеры:

Функция	y = ax + b	y = sin ax	y = ln x	y = x 2/ 2
Производная	dy/dx = a	dy/dx = acos ax	dy/dx = 1/x	dy/dx = x
Дифференциал	dy = adx	dy = a cos axdx	dy = 1/x dx	dy = x dx

Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной (пункты 1- 6). В физике понятие дифференциала в основном используется при расчёте погрешностей.