Классическое определение вероятности

Определение. Вероятностью события А называется отношение

количества благоприятствующих событию А исходов

к общему количеству равновозможных, единственно возможных, несовместных исходов:

P(A) = ,

где n - общее количество равновозможных, единственно возможных, несовместных исходов;

m - количество благоприятствующих исходов событию А.

Классическое определение не всегда применимо на практике, так как:

1. должны быть наперед известны количество всех элементарных исходов и число исходов, благоприятствующих событию А;

2) все элементарные исходы должны быть равновозможные, что далеко не всегда имеет место.

4. Статистическое определение вероятности

Проведем серию статистических наблюдений:

n - количество наблюдений;

m - число появлений события А.

W(A) =  - относительная частота появления события А.

P(A)   W(A)

   Свойство вероятностей

P(A) =  , где 0 m n.

1. Если событие А  достоверное, то Р(А) = 1.

Оно обязательно появится в результате испытания,

m = n. (все исходы благоприятствуют событию А)

2. Если событие А  невозможное, Р(А) = 0.

Оно никогда не появится в результате испытания,

m=0. (нет исходов, благоприятствующих событию А).

3. Если событие А  случайное, то 0 < P(A) <1.

Оно может появиться или не появиться в результате испытания,

0 < m <n. (есть исходы благоприятные и неблагоприятные для события А)

0. P(A)  1.

4. Геометрическое определение вероятности

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.).

Пусть отрезок составляет часть отрезка . На отрезок наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений:

Поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка , вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка . В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок определяется равенством

На плоскости задана область G, имеющая площадь . В области G содержится область g площади .

В область G наудачу брошена точка. Будем считать, что брошенная точка может попасть в некоторую часть области G с вероятностью, пропорцио­нальной площади этой части и не зависящей от ее формы и расположения. Пусть событие А – попадание брошенной точки в область g, тогда геометрическая вероятность этого события определяется формулой

Аналогично вводится понятие геометрической вероятности при бросании точки в пространственную область G объема , содержащую область объема :

Геометрическая вероятность

- мера множества (длина, площадь, объем)

Пример. В круг вписан квадрат. В круг наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что точка попадет в квадрат?

Решение. Пусть R – радиус круга, а- сторона вписанного квадрата. Событие А – попадание точки в квадрат, S – площадь круга, - площадь вписанного квадрата. Имеем . Следовательно,