1.Вычисление s плоской фигуры

Определение: криволинейная трапеция-множество точек плоскости ,

Таких что абцисса берутся из [a, b], а ордината неотрицательна и ≤f(x).

{(x y) ∈ a≤x≤b 0≤y≤f(x) } ); - площадь прямоугольника ,

-площадь полоски. ≈ =( - )*f( )= f( )*∆

S= = f( )*∆ ⟹S=

ℓ=max{ } 1≤x≤n

2.Задача о вычисление пути прямолинейного движения

материальной точки когда известна функция V

V=V(t) a≤t≤b S-?

Пусть дана f(x) и задана на [a, b] , раз отрезка [a, b] называется набор

чисел следующего вида : a= ≤ < < <…< < <b= (строго возр.)

тогда ℓ=max{∆ } 1≤x≤n .

Интегральной суммой Римана функции f называется

∂= ∆ , где ∈[ ; ], k=1,n(1,2, ... ,n)

Определение: Определенным интегралом функции f на [a, b]

Называется предел вида (интеграл суммы сигма при λ→0)

если он существует

Если lim такого вида существует то фун-ия называется интегрируемой

По Риману на [a, b] f-(R) интегрируема на [a, b] .

Интеграл Римана фун-ии f численно равен S криволинейной трапеции

Если f- непрерывна и неотрицательна.

Билет №18.

Условие существования интеграла Римана:

не у всех функций существует интеграл Римана

достаточным условием существования интеграла Римана

на [a, b] является условие непрерывности на [a, b]

Необходимые условия интегрируемости по Риману ограниченность

функции на отрезке интегрирования. Доказательство: если y=f(x)

неограниченная на [a, b], то она неограниченна на [ ], т.е. на

том отрезке можно найти такую точку , что f ( )*∆ будет больше

любого наперед заданного числа, а следовательно и интегральная сумма.

Функция Дирихле Ѱ(x)=

Фун-ия разрывна в каждой точке т.к. в любой точке (её окрестности)

содержиться как x∈Q так и x∉Q , то ни в одной точке нет предела,

Имеет всюду точку разрыва второго рода.

Достаточное условие: интрегрируемости- непрерывность на отрезке

Интрегрируемость функции означает существование конечного предела

последовательности интегрируемых сумм, т.е. ∀ ε>0 ∃ ∂>0 : как только разбиение

отрезка удовлетворяет неравенству max ∆ <∂ , то

│ │< ε .

Классы:

Теорема 1: Непрерывные на сигменте [a, b] фун-ии интрегрируемы на

этом сигменте по Риману.

Теорема 2: Ограниченная на [a, b] фун-ия f(x), имеющая конечное число

точек разрыва, интрегрируема.на этом сигменте. В частности кусочно

непрерывная на [a, b] фун-ия интегрируема.

Теорема 3: монотонная на сигменте [a, b] фун-ия f(x) интегрируема по

Риману на этом отрезке.

Билет №19 Арифметические свойства определенного интеграла.

. f- интегрируема на [a, b], c∈R⟹ c f –интегрируема и

=c . Доказательство: если c=0 то

∃ =c(b-a) , с≠0 с>0 по условию ∀ ε>0 ∃ ∂>0 ∀ λ>∂⟹│∂-I│< ε

ε>0 ∃ ∂>0 λ<∂ ⟹ │∂-I│< ε/c

∢ интегрируемую сумму функций = =…=c*∂

→c*I , при λ→0 ∀ ε>0 пусть ∂ из (x) ∀ λ<∂ │c*∂-c*I│< ε ЧТД.

. Если фун-ия f и g интегрируемы по Риману на [a, b], то интеграл

от суммы этих фун-ий на [a, b] равен сумме интегралов т.е.

= + ∃ на [a, b] Доказательство:

∢ -дробн. [a, b] ∈[ ; ] ∀ x∈ ,n

= ∆

→ (при λ→0) → (при λ→0) ∢ =

= → Аддетивность интервалов

. Следствие Если f и g интегрируемы по Риману то

= + = -

Субстрактивость. . a<c<b и фун-ия f-интегрируема по Риману на [a, c] и [c, b] ⟹

⟹ f-(R) интегрируема на [a, b], = +

Действительно будучи интегрируемым на отрезках [a, c] и [c, b]

Фун-ия f по определению ,ограничена на них, значит и на [a, b]

. Если фун-ия f-(R) интегр. на [a, b] и f ≥0 на [a, b] то ≥0

Доказательство: ∂= т.к. ≥0 и ≥0

- длина частич-х отрезков

. f, g-(R) интегрируемы на [a, b] f(x)≤g(x) ∀ x на [a, b]

≤ Доказательство: из условия следует что

g –f ≥ 0 g и f-(R) интегрир. по ⟹ ≥0 по свойству

⟹ -

Билет №20.Теорема о среднем для определенного интеграла. Ее геометрический смысл.

f и g – непрерывны на [a;b]

f(x) ≤g(x) ∀x∈[a;b],тогда (x) dx ≤ (x) dx / - = g-f) ≥0

Следствие : Если функция f – обладает неравенством m≤f(x) ≤M ∀x∈[a;b],

f- непрерывна, тогда m (b-a) ≤ (x) dx ≤ M(b-a)

Теорема: если функция f – непрерывна на [a;b]=> ∃c∈[a;b], для которого

Выполняется следующее равенство (x) dx = f(c)(b-a)

Доказательство: По теореме Веерштрасса непрерывная функция f имеет

на [a;b] свои наименьшее и наибольшие значения

m-наименьшее значение на f на [a;b], ⟹

M- наибольшее значение на f на [a;b], ⟹

⟹m ≤ f(x) ≤ m ∀x∈[a;b] ⟹m(a-b) ≤ (x) dx ≤ M(b-a)>0 ⟹m ≤ (x) dx b-a)= Ṃ ≤ M ⟹

по теореме о промежуточных значениях ∃ c∈[a;b]:f(c) = Ṃ⟹

⟹ (подставим f(c)= Υ и поделим на a-b). ЧТД

Геометрический смысл: Если функция непрерывна на [a;b] то найдется точка С

такая что S прямоугольнка высотой f(c) и шириной b-a будет равна S криволинейной трапеции

Интеграл = S трапеции ,S прямоугольника = (b-a)f(c)

Билет №21. Интеграл с переменным верхним пределом. Основная теорема интегрального исчисления.

1.Когда a=b (x) dx = 0

2.a > b ⟹ (x) dx ≝ - (x) dx

3. a<b y=f(x) непрерывна на [a;b],x∈(a;b]

[a;x] ⊂[a;b] ⟹∃ (t) dx =Ф(x) Ф(a)=0 y= Ф(x), ∈[a;b]

Теорема: основная теорема интегрального исчисления) т.Барро

Если непрерывна на [a;b],то ∃ Ф’(x) и она равна f(x) ∀x∈(a;b)

Доказательство: Ф(x)- интеграл с переменным верхним пределом

∢ ∈(a;b) По определению производной Ф’( )= =f( )

∢x< (правостороннее произведение)

В этом случае = (t) dt - (t) dx x-x0 = (t) dt x-x0 = f(cx)(x- ) x- =

=f( ), где ≤ ≤ x

Тогда x---> ⟹ ---> ⟹f( --->f( )

Ф’(x0’)= = f( ’) ЧТД

Пример: dx| =sint

№22.Формула Ньютона-Лейбница и ее значение.

Теорема: Если y=f(x) – непрерывна на[a;b] и F(x)-первообразная для f

на [a;b],то (x) dx = F(b) - F(a).

Доказательство: По основной теореме интеграла исчисления (т.Барроу)

Ф’(x’)=f(x) ∀x∈[a;b] ⟹y=Ф(x) – первообразная для F на [a;b] ⟹по теореме о первообразной

∃с=ℝ Ф(x)=F(x)+c ∀x∈[a;b], если x= 0⟹ =F(a)+c ⟹c=-F(a)

x=b⟹ =F(b)+(- F(a)) ЧТД

Пример: dx =-cos| =-cos П/2-(-cos0)=1

Замечание: Нельзя применять формулу Н-Л если условие непрерывности функции f (или условие

быть первообразной) нарушается хотя бы в одной точке [a;b]

Эта формула позволяет сводить нахождение определителя интеграла непрерывной функции

к нахождению ее первообразной.

______________________ Билет №23.Метод интегрирования по частям в определенном интеграле.

Теорема: Если функции u(x’) и v(x’) имеют на на [a;b] непрерывные производные⟹ v’(x) dx =u(x)v(x) | - (x)u’(x) dx )

Доказательство: В силу данных условий функции u(x) и v’(x) и v(x)u’(x) – непрерывна на [a;b] ⟹

⟹ интегралы Риммана от них ⟹по правилу дифферинцирования

(uv)’=u’v+uv’ ∀x∈[a;b] ⟹y=u(x)v(x) – первообразная для функции u’v+uv’ на[a;b]

По теореме Н-Л dx = u(x)v(x) |

H’-непрерывна по условию на [a;b] ⟹ u-непрерывна на [a;b] ⟹

V’-непрерывна по условию на [a;b] ⟹ v-непрерывна на [a;b] ⟹

⟹u’v и v’u – непрерывны как производные непрерывны на [a;b] ⟹

⟹∃ , v’⟹ dx = dx + v’) dx=uv) | ⟹ )

Пример: = n=lnx n’=1/x v’=1 v=x =xlnx | - =e’lne-1ln1-x | =e-(1-1)=1

Билет №24.Метод подстановки в определенном интеграле.

Теорема: функция y=f(x) непрерывна на [a;b],а x= (t) имеет непрерывную производную (t) на [ ; ]

( )=a ( =b (t) ∈[ ; ] ∀t∈[ ; ] (x) dx = ( ) dt

Доказательство: F-первообразная для f[ ; ] ⟹ левая часть =F(b)-F(a)

∢y=F( ) первообразная для правой части ( F( ))’=F’(x) =f(x) =f( )

По формуле Н-Л правая часть =F( ) b)- F( ) a)=F(b)-F(a)= левая часть ЧТД

Пример: a>0

dx = x=sint 0≤ t ≤ = acost dt=

x(0)=0,x( =0,x([0; ]) [0;0]

x’=acost (непр-ая) ) ∀t∈[0;

= t dt = (n-1) =