Билет№1Понятие неопределенности.Неопределенность типа

(0/0).Первая теорема Лопиталя.

Неопределенность вида 0/0.С помощью производных можно раскрывать

неопределенности вида 0/0 и ∞/∞.Другие типы неопределенностей сводятся к

этим. Начнем со следующего утверждения.

Пусть функциии f и g определены и дифференцируемы на интервале (a, b) и

точка x0 принадлежит (a, b).

Теорема Лопиталя: Предел отношения двух бесконечно малых

величин равен пределу отношения их производных.

Если f(x0) = g(x0) = 0,а g'(x0) ≠ 0,то lim f(x)/g(x)=f′(x0)/g′(x0).

x-->x0

Обобщением теоремы Лопиталя служит следующее утверждение.

Пусть функции f и g дифференцируемы на интервале (a, b), пределы:

lim f(x) =lim g(x) =0,производная g′(x) ≠ 0 для всех x принадлежит (а, b)

x→a+0 x→a+0

и существует конечный или определенного знака бесконечный предел :

lim f'(x)/g'(x) =k.

x-->a+0

Тогда существует предел: lim f(x)/g(x),и он тоже равен k, т.е.

x-->a+0

lim f(x)/g(x)=lim f'(x)/g'(x)

x-->a+0 x-->a+0

Док-во: В силу условий теоремы, функции f и g не определены в точке a.

Доопределим их, положив f(a) = g(a) = 0. Теперь f и g непрерывны в точке a и

удовлетворяют условиям теоремы Коши(о среднем значении) на любом

отрезке [x, a], a < x < b.

Поэтому для каждого x, a < x < b, существует такое c принадлежит (a, x), что :

f(x)/g(x)=(f(x)-f(a))/(g(x)-g(a))=f'(c)/g'(c),причем lim c(x)=a.

x-->a+0

Поэтому, если существует lim f'(x)/g'(x)=k,то существует и lim f(x)/g(x)=k.

x→a+0 x→a+0

В этих теоремах точка a может принимать значение ±∞. Теорему Лопиталя

можно применять, последовательно вычисляя производные.

Замечание 1:Предел отношения производных не существует,то это вовсе

не означает,что предел отношений первообразных функций тоже не

существует.

Замечание 2:Правило Лопиталя иногда надо применять несколько раз.

Замечание 3:Все аналогичное справедливо для предела слева x-->b- ,

x-->x0.

2).Неопределенности вида (∞/∞),(0*∞),(∞-∞).Вторая теорема

Лопиталя.

Пусть y=f(x) и y=g(x)-дифференцируемы на (a;b) (1)

g'(x) ≠ 0,для любых х принадлежащих (a;b) (2)

Существует lim g(x)=∞ (3)

x-->b-

И пусть существует lim f'(x)/g'(x)=k (4)

x-->b-

Существует lim f(x)/g(x)=k (5)

x-->b-

Док-во:В силу условий (1) и (2) по Т.Ролля =>,что g(x1) ≠ g(x2) при

x1 ≠ x2.

Докажем методом "от противного"

Пусть (5) не выполняется => существует(Xn),Xn принадлежит (a;b)

Xn-->b-,но f(Xn)/g(Xn) не -->k(по Гейне),но можно считать,что она стремится

k' ≠ k

Xk1 : |g(x1)/g(Xk1)|<1 и |f(x1)/g(Xk1)|<1

Существует k2>k1 : |g(Xk1)/g(Xk2|<1/2 и |f(Xk1)/g(Xk2)|<1/2

и.т.д. Существует(Xkn) : |g(Xkn-1)/g(Xkn)|<1/n и |f(Xkn-1)/g(Xkn)|<1/n (6)

Тогда f(Xkn)/g(Xkn) -->k' (7)

Рассмотрим Yn=(f(Xkn)-f(Xkn-1))/(g(Xkn)-g(Xkn-1))=>(по т.Коши)

f'(Ckn)/g'(Ckn) -->k

Ckn - между Xkn и Xkn-1

Xkn -->b- (по т. о 2 милиционерах)

Yn=((f(Xkn)/g(Xkn))-(f(Xkn-1)/g(Xkn)))/1-(g(Xkn-1)/g(Xkn)) -->(k'-0)/(1-0)=k'

Получено противоречие,т.к. k' ≠ k => (5) выполняется. ч.т.д.

1) lim (f(x)*g(x)),где f(x)-->0,g(x)-->∞ - случай неопределенности типа 0*∞

x-->a

2) lim (f(x)-g(x)),где f(x)-->∞,g(x)-->∞ - случай неопределенности типа ∞-∞

x-->a

Билет№3 Понятие степенно-показательного выражения.Неопределен

ности вида (1^∞,0^0,∞^0).Способы раскрытия.

Степенно-показательное выражение u^v,где u и v являются функциями от одной

и той же переменной x,с областью изменения X,имеющей точку сгущения x0;в

частности,это могут быть две:варианты un и vn.

Пусть существуют конечные пределы: lim u=a и lim v=b,причем a>0.Требуется

x-->x0 x-->x0

найти предел выражения u^v.Представим его в виде u^v=e^(v*ln(u)).

Функции v и ln(u) имеют пределы lim v=b,lim ln(u)=ln(a);(здесь использована

x-->x0 x-->x0

непрерывность логарифмической функции),так что lim v*ln(u)=b*ln(a).

x-->x0

Отсюда-по непрерывности показательной функции-окончательно:

lim u^v=e^(b*ln(a))=a^b.

x-->x0

Предел выражения u^v можно установить и в других случаях,когда известен

предел c произведения v*ln(u)-конечный или бесконечный.При конечном c

искомый предел будет,очевидно,e^c;если же c= -∞ или +∞,то этот предел,

соответственно,будет равен 0 или +∞.

Само же определение предела c=lim {v*ln(u)}-лишь по заданным пределам

a и b -возможно всегда,кроме случаев,когда это произведение (при x-->x0)

представляет неопределенность вида 0*∞.Легко сообразить,что

исключительные случаи отвечают таким комбинациям значений a и b :

a=1,b=±∞;a=0,b=0;a=+∞,b=0.

В этих случаях говорят,что выражение u^v представляет неопределенность

вида: 1^∞,0^0,∞^0.

1) lim (f(x))^g(x),где f(x)-->0,g(x)-->0 - случай неопределенности типа 0^0.

x-->a

2) lim (f(x))^g(x),где f(x)-->∞,g(x)-->0 - случай неопределенности типа ∞^0.

x-->a

3) lim (f(x))^g(x),где f(x)-->1,g(x)-->∞ - случай неопределенности типа 1^∞.

x-->a

Билет№4 Понятие монотонной функции.Признаки монотонности

функции на промежутке.Признаки строгой монотонности.

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака,

то есть либо всегда отрицательное, либо всегда положительное. Если в

дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го

моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и

том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует

большее значение функции. Функция убывает, если большему значению

аргумента соответствует меньшее значение функции.

Пусть дана функция f : M из множества R --> R.Тогда,

a) функция f называется возраста́ющей на M, если:

Для любых x,y принадлежащих M,x>y=>f(x)≥f(y).

б) функция f называется стро́го возраста́ющей на M, если:

Для любых x,y принадлежащих M,x>y=>f(x)>f(y).

в)функция f называется убыва́ющей на M, если:

Для любых x,y принадлежащих M,x>y=>f(x)≤f(y).

г)функция f называется стро́го убыва́ющей на M, если:

Для любых x,y принадлежащих M,x>y=>f(x)<f(y).

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется

(строго) монотонной.

Условия монотонности функции: