1.3 Понятие наблюдаемости многомерной системы

Наблюдаемость и управляемость характеризуют свойства многомерных систем и являются такими же важными понятиями, как устойчивость.

Если устойчивость линейных систем однозначно определяется по коэффициентам матрицы передаточной функции, или матрицы А, или по коэффициентам характеристического уравнения, то для оценки наблюдаемости необходимо наряду с матрицей А знать также матрицу наблюдаемости С. Аналогично для оценки управляемости системы необходимо знать матрицу А и матрицу управляемости В.

Рассмотрим вначале понятие наблюдаемости. При автоматическом

управлении предполагается, что наблюдение за системой или процессом сопровождается измерением обобщенных (фазовых) координат Xi и в понятие наблюдение и измерение вкладывается практически одинаковый смысл. В отличии от тождественности понятий наблюдения и измерения понятие наблюдаемость и измеримость в теории управления имеют различное содержание. Под измеримостью понимается возможность прямого измерения той или

иной фазовой координаты. В этом случае речь идет о непосредственной наблюдаемости. Под наблюдаемостью же понимается возможность как косвенного, так и прямого измерения фазовых координат на основе прямого измерения других,

как правило, регулируемых величин.

Общая постановка задачи определения состояния системы по наблюдениям заключается в следующем. Пусть получено посредством наблюдения (измерения) множество Y, связанное известной функциональной зависимостью с множеством X , например Y=CX, принадлежащему пространству состояний системы с заданной математической моделью в форме Коши. Требуется определить

X или некоторое его подмножество Xn ⊂ X.

При свободном движении уравнения (1.7) системы преобразуются к виду:

Продифференцируем n-1 раз второе уравнение и подставим в полученные выражения для производных первое уравнение. В результате получим систему из n уравнений для вычисления x .

Матрица наблюдаемости имеет вид:

а ее ранг должен быть равен порядку системы.

Это необходимое и достаточное условие наблюдаемости Калмана.

1.4 Понятие управляемости многомерной системы

Понятие управляемости связано с переводом системы посредством

управления из одного состояния в другое. Пусть в пространстве состояний X заданы два подмножества Γ1 ⊂ X и Γ2 ⊂ X . Рассматриваемая система будет

управляемой, если существует такое управление U(t) = (U1,U2 ,...Uk )T , определенное на конечном интервале времени 0 ≤ t ≤ T , которое переводит систему в пространстве X из подмножества Г1 в подмножество Г2 .

Для линейной стационарной системы можно записать:

где матрицы А и В постоянны.

При отсутствии ограничений в пространстве состояний и пространстве управлений, управляемость зависит только от коэффициентов матриц А и В.

Для управляемости системы необходимо чтобы решение было устойчивым:

В том случае если размерность вектора u(t) больше или равна размерности вектора x (t ), то по завершении управления, когда вектор x(t1) = x1 система будет иметь единственное решение в то и только том случае если ранг матрицы В равен n.

Если размерность вектора u(t) меньше размерности вектора x (t , )то необходимое и достаточное условие полной управляемости по Калману примет вид:

где - матрица управляемости.