4. Радиотехнические цепи и методы их анализа.

Радиотехнические преобразования осуществляются с помощью большого числа линейных и нелинейных элементов и цепей. Линейные цепи, в свою очередь, подразделяются на цепи с постоянными и цепи с переменными парамет­рами. Последние часто называют параметрическими цепями.

Каждый из перечисленных классов цепей подразделяется, кро­ме того, на цепи с сосредоточенными и с распределенными парамет­рами. К первым относятся цепи, составленные из катушек индук­тивности, конденсаторов и резисторов, а ко вторым — цепи, со­держащие линии, волноводы, излучающие системы.

В данном курсе изучаются в основном цепи с сосредоточенными параметрами. Для выявления основных свойств указанных цепей необходимо напомнить свойства описывающих эти цепи дифферен­циальных уравнений. Имея в виду цепи с сосредоточенными пара­метрами, выпишем три следующих уравнения;

У равнение (1.1)—линейное, с постоянными коэффициентами а₀ а₁ а₂ а_n — характеризует линейную цепь с постоянными параметрами. Уравнение (1.2), в котором по крайней мере один из коэффициентов, (в данном случае a_t (t)) является функцией вре­мени (но не зависит от у), представляет собой линейное уравнение с переменным коэффициентом (или переменными коэффициентами) и описывает линейную цепь с переменными параметрами. Наконец, уравнение (1.3), один или несколько коэффициентов которого (в данном случае а₁ {у)) являются функциями у, представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение, описывающее нелиней­ную цепь.

Обратимся сначала к свойствам линейного уравнения с пос­тоянными коэффициентами. Для большей наглядности заменим об­щее уравнение (1.1) более простым уравнением второго порядка, описывающим, например, последовательный колебательный кон­тур L, С, г, в который вводится э. д. с. е (t).

Для тока в контуре i (t) можно написать следующее интегродиф-ференциальное уравнение:

Уравнение является линейным, если коэффициенты L, г и 1/С не зависят от величины тока i или, что то же самое, от ве­личины внешней силы е (t).

Одним из проявлений линейности цепи является независи­мость соотношения между входными и выходными напряжениями (токами) от уровня входного напряжения (тока).

Изменение амплитуды тока 7 в n раз дает такое же изменение амплитуды напряжения на элементах г, L и С. Это свойство линей­ных элементов можно толковать как результат линейности их вольтамперных характеристик.

Другим важным свойством линейных цепей, также вытекающим из линейности дифференциального уравнения, описывающего поведение (ток, напряжение) цепи, является справедливость прин­ципа независимости или наложения (суперпозиции). Суть этого прин­ципа может быть сформулирована следующим образом: при действии на линейную цепь нескольких внешних сил поведение цепи (ток, напряжение) можно определять путем наложения (суперпозиции) решений, найденных для каждой из сил в отдельности. Можно ис­пользовать еще и такую формулировку: в линейной цепи сумма эффектов от различных воздействий совпадает с эффектом от суммы воздействий. При этом предполагается, что цепь свободна от на­чальных запасов энергии.

Принцип наложения лежит в основе спектрального и оператор­ного метода анализа переходных процессов в линейных цепях, а также метода интеграла наложения (интеграл Дюамеля). Приме­няя принцип наложения, любые сложные сигналы при передаче их через линейные цепи можно разложить на простые, более удоб­ные для анализа (например, синусоидальные).

Отсюда следует, что при любом сколь угодно сложном воздействии в линейной цепи с постоянными параметрами не возникает новых частот. Это означает, что ни одно из преобразований сигналов, сопровождающихся появлением новых частот (т. е. частот, отсут­ствующих в спектре входного сигнала), не может в принципе быть осуществлено с помощью линейной цепи с постоянными параметрами. Такие цепи находят широчайшее применение для решения задач, не связанных с трансформацией спектра, таких, как линейное усиление сигналов, фильтрация (по частотному признаку) и т. д.

Рассмотрим теперь свойства линейных цепей с переменными па­раметрами, вытекающие из свойств общего уравнения (1.2).

Как и в предыдущем случае, принцип наложения (суперпози­ции) остается в силе. Это означает, что правую часть уравнения (1.2), т. е, внешнюю силу f (t), можно разложить на гармонические сос­тавляющие, действующие при - ∞ <; t < ∞, после чего решение уравнения (1.2) будет представляться в виде суммы независимых частных решений, соответствующих каждой из составляющих правой части. (Как и ранее, предполагается, что в цепи начальный запас энергии отсутствует.) Однако в отличие от предыдущего слу­чая в цепи с переменными параметрами эти частные решения яв­ляются не гармоническими, а более сложными функциями. Иными словами, даже простейшее гармоническое воздействие создает в ли­нейной цепи с переменными параметрами сложное колебание, имею­щее спектр частот. Это можно пояснить на следующем простейшем примере.

Теория дифференциальных уравнений с переменными коэффи­циентами значительно более сложна, нежели уравнений с постоян­ными коэффициентами. Даже при гармонической правой части ре­шение уравнений порядка выше первого можно найти лишь в неко­торых частных случаях. Поэтому ясно, что, хотя к линейным цепям с переменными параметрами и применим принцип наложения, спект­ральный подход к анализу прохождения сигналов через такие цепи не всегда оказывается эффективным.

Таким образом, основным свойством нелинейных элементов и цепей является то, что для их анализа принцип наложения (супер­позиции) неприменим

Из этого простого примера видно, что при анализе воздей­ствия сложного сигнала на не­линейную цепь этот сигнал нель­зя разлагать на более простые; необходимо искать отклик цепи на результирующий сигнал. Неприменимость для нелинейных цепей принципа наложения делает непригодными спектральный и иные методы анализа, осно­ванные на разложении сложного сигнала на составляющие.

Другим важным свойством нелинейной цепи является преобра­зование спектра сигнала. При воздействии на нелинейную цепь простейшего гармонического сигнала в цепи, помимо основной частоты, возникают гармоники с частотами, кратными основной частоте (а в некоторых случаях и постоянная составляющая тока или напряжения). В дальнейшем будет показано, что при сложной форме сигнала в нелинейной цепи, помимо гармоник, возникают еще и комбинационные частоты, являющиеся результатом взаимо­действия отдельных частот, входящих в состав сигнала.

С точки зрения преобразования спектра сигнала следует под­черкнуть принципиальное различие между линейными параметри­ческими и нелинейными цепями. В нелинейной цепи структура спектра на выходе зависит не только от формы входного сигнала, но и от его амплитуды. В линейной параметрической цепи струк­тура спектра от амплитуды сигнала не зависит.

Особенный интерес для радиотехники представляют свободные колебания в нелинейных цепях. Подобные колебания называются автоколебаниями, поскольку они возникают и могут устойчиво существовать в отсутствие внешнего периодического воздействия, Расход энергии при колебаниях в подобных цепях компенсируется источником энергии постоянного тока.

Основные радиотехнические процессы: генерация, модуляция, детектирование и преобразование частоты — сопровождаются транс­формацией частотного спектра. Поэтому эти процессы можно осу­ществить с помощью либо нелинейных цепей, либо линейных, но с изменяющимися параметрами. В некоторых случаях используют­ся одновременно как нелинейные, так нелинейные параметрические цепи. Следует, кроме того, подчеркнуть, что нелинейные элементы работают в сочетании с линейными цепями, осуществляющими выделение полезных компонентов преобразованного спектра. В свя­зи с этим деление цепей на линейные, нелинейные и параметрические является весьма условным. При анализе реальных радиотехни­ческих цепей, содержащих нелинейные элементы, обычно для опи­сания поведения различных узлов одного и того же устройства приходится применять разнообразные математические методы — линейные и нелинейные.

Следует, кроме того, отметить, что даже в пределах линейного рассмотрения цепи методы анализа зависят от типа линейной цепи — с сосредоточенными или с распределенными параметрами. Применение тех или иных цепей определяется рабочим диапазоном частот. Отсюда ясно, что полная классификация радиотехнических цепей не может быть проведена в отрыве от используемых диапазо­нов частот.