Из чертежа видно, что

4 x пределы интегрирования

будут и

(рис. 7).

Рис. 7 .

(кв. ед.).

Пример 62. Вычислить длину одной арки циклоиды

(рис. 8).

Решение. Из соотношения видно, что значение соответствует ,

соответствует ,

. Так как уравнение линии

з адано в декартовых координатах

(вид в), то используем формулу (2в),

т абл.: , .

t=0 t= t=2

Рис. 8

.

Пример 63. Вычислить длину кардиоиды ,

соответствующую .

Решение. Уравнение кривой задано в полярных координатах, следовательно, при решении воспользуемся формулой (2д). Изменение задано, следовательно, выполнение чертежа необязательно.

(ед. длины).

Пример 64. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной параболой и осью (рис. 9).

Решение. Парабола расположена ветвями вниз, вершина находится в точке , и ось пересекает в точках . Для решения воспользуемся формулой (3а), табл.

(куб. ед.).

y

1

1 x

Рис. 9

Пример 65. Вычислить объем тела, образованного вращением гиперболы , отсеченной прямыми , вокруг оси (рис. 10).

Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой (3б), табл.

y

; ,

находим из уравнения гиперболы:

-3 3 x

Рис. 10 (куб. ед.).

Замечание: Иногда при решении задач полезно использовать рекуррентную формулу:

Знак (двойной факториал) означает произведение целых чисел, начиная с , через одно с убыванием. Например, (только нечетные множители).