8. Первообразная и неопределенный интеграл
Определение
11. Функция
называется первообразной для
,
если
(15)
или
(16)
Пример
11.
есть первообразная для
,
так как
или
.
Пример
12.
есть первообразная для
,
так как
или
.
Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное первообразная, которое отличаются друг друга на постоянное число.
Так
в 11-м примере для
первообразной будут, кроме
,
,
,
,
и другие. Все они удовлетворяют условию
(15) и (16). Вообще в общем виде можно записать
первообразную в виде
,
где
– произвольная постоянная. Действительно,
или
.
Определение
12. Общее
выражение
совокупности всех первообразных для
функции
называется неопределенным интегралом
от этой функции и обозначается:
.
(17)
При
этом
,
где
– подынтегральное
выражение,
– подынтегральная функция.
Операцию нахождения неопределенного интеграла называют интегрированием.
Итак, интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому каждой формуле дифференцирования (15) соответствуют формула интегрирования (17).
Пример
13.
,
где – const.
Ниже приведена таблица основных интегралов. Каждую формулу можно проверить дифференцированием.
Таблица основных интегралов
1.
(
,
– const,
)
2.
(для
любого
)
2.1.
2.2.
3.
4.
(
,
,
)
5.
6.
7.
8.
9.
10.
(
)
11.
(
)
12.
13.
При интегрировании используются свойства интегралов.
Свойства интегралов
,
в частности,
, 
,
где
Таблицу интегралов и свойства необходимо выучить наизусть.
9. Методы интегрирования
Существуют три способа интегрирования: непосредственное, заменой переменной и по частям.
9.1. Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрирование состоит в том, что подынтегральную функцию путем тождественных преобразований с использованием формул алгебры и тригонометрии, а также, используя свойства (3) и (4), сводят к табличным интегралам.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример
14.
.
(Использованы
свойства 3, 4; табличный интеграл 2,
).
Правильность ответа проверяем дифференцированием:
.
Пример
15.
.
(Свойства 3, 4; табличные интегралы 2.2 и 3).
Пример
16.
.
(Свойства 3,4; табличные интегралы 1 и 7).
9.2. Метод замены переменной (подстановки)
Для
вычисления интеграла
сделаем замену
,
где
выбирается так, чтобы после преобразований
данного интеграла и новой переменной
,
получился интеграл, который берется
непосредственно.
Предварительно
находим
,
тогда
.
(18)
После
нахождения первообразной
необходимо вернуться к первоначальной
переменной «
».
Пример
17.
.
Пример
18.
.
Замечание. Следующие интегралы удобно решать указанной заменой:
, 
; 
;
, 
; 
;
, 
; 
.
Пример
19.
,
т.
к.
.
Формулой (18) часто пользуются справа налево:
, 
.
(19)
При этой замене надо помнить, что в составе подынтегрального выражения должен быть дифференциал функции .
Такой метод называется подведением под знак дифференциала
.
(19’)
При использовании этого метода можно воспользоваться таблицей дифференциалов.
Таблица дифференциалов
1.
,
– const,
,
2.
3.
4.
,
,
,
5.
6.
7.
8.
9.
10.
,
11.
,
Пример
20.
.
Решение.
Согласно
таблице дифференциалов, 1, с. 7
,
положим
,
,
,
.
.
Пример
21.
.
Решение. По таблице дифференциалов, 1, с. 7 , положим
,
,
,
.
.
Пример
22.
– можно найти двумя способами:
1
способ.
;
2
способ.
.
Пример
23.
.
1
способ.
;
2
способ.
.
Пример
24.
.
(табл. интегр., 3,
).