35

Методические рекомендации по выполнению

контрольной работы №2

по математическому анализу

для бакалавриата заочной формы обучения по квалификации

080100.62 По направлению Экономика

2012

1. Понятие функции двух независимых переменных

Определение 1. Пусть даны 2 непустых пространства и . Если каждой паре действительных чисел , принадлежащих множеству , по определенному правилу ставится в соответствие одно и только одно действительное число из , то говорят, что на множестве задана функция со множеством значений .

Определение 2. Множество называется областью определения функции, а множество , состоящее из всех чисел вида , где , – множеством значений функции.

Определение 3. Значение функции в точке обозначают и называют частным значением функции.

Так, например, если , то значение функции в точке обозначают следующим образом:

.

Геометрическим изображением функции в прямоугольной системе координат является некоторая поверхность.

Аналогично определяется функция любого числа переменных .

Определение 4. Линией уровня функции называется линия на плоскости , в точках которой функция сохраняет постоянное значение .

Если положить , выбрав эти числа в арифметической прогрессии с разностью , то мы получим ряд линий уровня, по взаимному расположению которых можно судить о характере изменения функции: где линии гуще – функция изменяется быстрее (поверхность, изображающая функцию, идет круче).

Пример 1. Найти область определения функции. Сделать чертеж.

.

Решение. Данная функция определена и принимает действительные значения при или . (1)

С делаем чертеж. y

-2 2 x

Рис. 1

Замечание. Из системы неравенств (1) видно, что первому неравенству будут удовлетворять координаты всех точек, лежащих внутри круга и на окружности, а второму – координаты точек, лежащих вне параболы. Таким образом, обоим неравенствам одновременно будут удовлетворять координаты точек, лежащих вне параболы, но внутри круга.

На чертеже (рис. 1) получим заштрихованную часть плоскости.

Пример 2. Найти и построить линии уровня функции .

Решение. Положим , тогда уравнение семейства линий уровня примет вид . При это будет семейство окружностей радиуса с центром в начале координат. Полагая , получим следующие уравнения окружностей: (точка ), и т. д. (рис. 2).

y

x

Рис. 2

2. Производные функции двух независимых переменных

2.1. Частные производные первого порядка

Определение 5. Частной производной от функции по независимой переменной или называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной, при стремлении последнего к ,

т. е.

или

.

Заметим, что если от функции берется производная , то считается постоянным; если же находится , то считается постоянным. Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

Пример 3. Найти частные производные функции .

Решение. Найдем при условии, что , а, следовательно, и ее производная .

.

( как вынесли за знак производной).

Найдем , считая, что , а, следовательно, и производная , тогда

.