9.3. Метод интегрирования по частям

(20)

Эта формула чаще всего применяется тогда, когда под интегралом имеется произведение алгебраической и трансцендентной функции, например, или , или .

– это все подынтегральное выражение, часть которого мы обозначаем за , а часть за . При этом:

1. за принимается функция, которая дифференцированием упрощается.

2. за – та часть, интеграл от которой известен или легко может быть взят.

3. в состав обязательно входит .

В итоге верного выбора и интеграл в (20) должен быть проще исходного.

Пример 25.

.

Замечание. Метод интегрирования по частям может применяться в одном примере несколько раз.

Замечание. Иногда повторное интегрирование по частям приводит к уравнению искомого интеграла , , если

, то получаем уравнение: , откуда

или .

Пример 26. – решить методом по частям, используя примечание. При верном решении должен получиться ответ:

.

Только по частям берутся интегралы:

а) , многочлен -ой степени,

, в частности одночлен

, ,

б) , ,

,

, ,

в) , , ,

, или .

Интегралы типа (в) интегрируются дважды по частям.

Пример 27.

.

Рассмотрим отдельные классы функций и способы их интегрирования.

10. Интегрирование рациональных дробей

10.1. Простейшие дроби, их интегрирование к простейшим дробям относятся дроби вида:

1. , 2. , 3. , при ,

4. , при ( , , , , , ).

При интегрировании дробей типа 1 – 2 достаточно ввести подстановку , (или ), тогда

1. ;

2. , ( ).

Чтобы проинтегрировать дроби типа 3 – 4, необходимо выделить полный квадрат из квадратного трехчлена, затем свести интеграл к табличному.

Пример 28. .

Решение. Выделим полный квадрат из квадратного трехчлена:

.

=

(табл. интегр., 11).

Замечание. При интегрировании дробей типа 3 – 4 можно воспользоваться справочником.

10.2. Правильные и неправильные рациональные дроби

Определение 13. Дробь называется рациональной, где , – многочлены -ой и -ой степеней.

Если , дробь неправильная.

Если , дробь правильная.

Неправильную дробь представляют в виде суммы целой части и правильной дроби. Операция выделения целой части может быть выполнена делением числителя на знаменатель.

Пример 29. Дробь неправильная ( , , ). Выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель.

.

Пример 30. Дробь правильная, т. к. , , .

Пример 31. Дробь неправильная ( , , ).

.

10.3. Разложение правильной дроби

Теорема. Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей вида 1 – 4.

Пусть дробь правильная. Разложим знаменатель дроби на множители. Найдем его корни, т. е. значения , при которых знаменатель обращается в нуль. Тогда многочлен разложится на множители:

, где

– действительные корни многочлена. Множитель не разложим на линейные множители, т. к. .

Вид элементарной дроби и число их в разложении определяется корнями знаменателя данной дроби. Каждому множителю знаменателя соответствует определенного вида дробь. Укажем, какому множителю какая дробь соответствует:

, если .

,

если .

– пока неизвестные коэффициенты.

Разложить на простейшие дроби.

Пример 32. .

Пример 33.

– не имеет действительных корней, т. к. .

Пример 34.

.

Пример 35.

,

– не имеет действительных корней, т. к. .