§ 2. Язык логики высказываний

Язык логики высказываний — это искусственный язык, предназначенный для анализа логической структуры сложных высказываний.

Алфавит языка логики высказываний содержит следующие три категории знаков.

1. Пропозициональные буквы (пропозициональные переменные)²:

р, q, r, s, t, p₁, q₁, r₁, s₁, t₁, p₂, q₂, …

2. Логические знаки (логические союзы): ~ —знак отрицания;  —знак конъюнкции;  — знак дизъюнкции;  —знак импликации,  — знак эквивалентности,  — знак строгой дизъюнкции.

3. Технические знаки: ( — левая скобка; ) — правая скобка.

Никаких других знаков в языке логики высказываний нет.

Роль структурных образований, аналогичных элементарным и сложным высказываниям, играют в этом языке формулы. Формулы — это конечные последовательности знаков алфавита, которые построены по установленным правилам и образуют законченные выражения языка логики высказываний.

Определение формулы логики высказываний: 1) пропозициональная переменная есть формула; 2) если А — произвольная формула, то ~А [читается: не А или неверно, что А ] — тоже формула; 3) если А и В — произвольные формулы, то (А  В) [читается: А и В ], (A  B) [читается: А или В ]; (А  В) [читается: если А, то В ], (А  В) [читается: А тогда и только тогда, когда В], (А  В) [читается: либо А, либо В] — тоже формулы.

Никаких других формул, кроме указанных в пп. 1 —3 , в языке логики высказываний нет.

Заглавные латинские буквы А и В, которые употребляются в определении формулы, принадлежат не языку логики высказываний, а его метаязыку, т. е. тому языку, на котором мы говорим о языке логики высказываний, и служат для обозначения произвольных формул, записанных на языке логики высказываний. В отличие от букв, которые являются пропозициональными переменными, их называют метапеременными, или метабуквами.

Содержащие метабуквы выражения ~А, (А  В), (A  B), (А  В), (А  В) и (А  В) — не формулы, а схемы формул определенного вида. Например, выражение (А  В) есть схема формул (р  q), ((r  q)  (r  s)), (р  (р  q)), (р  р) и т. п., а выражение (А  А) — схема формул (р  р), (~q  ~q) и ((р  r)  (р  r)), но не схема формулы (р  q). В дальнейшем мы часто будем говорить формула (А  В) , подразумевая любую формулу логики высказываний соответствующего вида, а не саму запись (А  В), которая является схемой формул.

Относительно любой последовательности знаков алфавита языка логики высказываний можно решить, является она формулой или нет. Если эта последовательность может быть построена в соответствии с п.п. 1 —3 определения формулы, то она — формула, если нет, то не формула. Так, последовательность знаков

((((p  q)  ~r)  (r  p))  q)

является формулой потому, что она может быть построена в соответствии с этими пунктами. Действительно, на основании п. 1 пропозициональные переменные р и q являются формулами. Тогда согласно п. 3 при условии, что в качестве А взята пропозициональная переменная р, а в качестве В — пропозициональная переменная q, выражение (р  q) является формулой. А так как пропозициональная переменная r в силу п. 1 есть формула, то выражение ~r согласно п. 2 и выражение ((p  q)  ~r) согласно п. 3 при условии, что в качестве А взята формула (p  q), а в качестве В — формула ~r, тоже есть формула. Поскольку согласно п. 3 при условии, что в качестве А взята пропозициональная переменная r, а в качестве В — переменная р, выражение (r  р) есть формула, постольку выражение (((p  q)  ~r)  (r  p)) в силу того же п. 3, но при условии, что А — это ((p  q)  ~r), а В — это (r  р), тоже является формулой. И наконец, все анализируемое выражение согласно п. 3. при условии, что в качестве А взята формула (((p  q)  ~r)  (r  p)), а в качестве В —пропозициональная переменная q, есть формула логики высказываний. Таким образом, анализируя последовательности знаков алфавита языка логики высказываний, мы проверяем, являются они формулами или нет.

Схемy процесса построения формулы удобно представлять в виде следующей древовидной фигуры, которую называют деревом формулы:

p

q

r

(p  q)

~r

r

p

((p  q)  ~r)

(r  p)

(((p  q)  ~r)  (r  p))

q

((((p  q)  ~r)  (r  p))  q)

Ясно, что последовательности знаков алфавита

p ); (p  q(; ((p  q)); p  q; (~r)

не являются формулами логики высказываний, так как ни одна из них не может быть построена в соответствии с п.п. 1—3 определения формулы. Четвертое из этих выражений, например, не является формулой, так как соединение формул знаком  всегда сопровождается заключением в скобки.

Любая часть формулы, которая сама есть формула, называется подформулой данной формулы. Например, подформулами анализируемой выше формулы являются переменные р, q, r (каждая из которых дважды входит во всю формулу), формулы

~r,(p  q),((p  q)  ~r), (r  р),

(((p  q)  ~r)  (r  p))

и, наконец, вся формула

((((p  q)  ~r)  (r  p))  q),

которая рассматривается как часть самой себя. Но, например, такие части рассматриваемой формулы, как

(((p  или (r  p))  q),

не являются ее подформулами, так как не являются формулами.

Подформулы А и В в формуле (А  В) называются ее конъюнктивными членами, или конъюнктами, а в формуле (A  B) — ее дизъюнктивными членами, или дизъюнктами. В формуле (А  В) подформула А называется ее антецедентом, а подформула В — ее консеквентом.

Логический знак, который при построении формулы применяется последним, называется главным логическим знаком данной формулы.

Каждая формула логики высказываний превращается в истинное или ложное высказывание, если все входящие в нее пропозициональные переменные заменить конкретными истинными или ложными высказываниями. Так, если в формуле

(p  q)

переменную р заменить высказыванием 12 делится на 6, переменную q — высказыванием 12 делится на 2 и 12 делится на 3, логический знак  заменить словами, соответствующими его прочтению (они указаны в определении формулы), и отбросить скобки, то получим высказывание Если 12 делится на 6, то 12 делится на 2 и 12 делится на 3.

Если какая-нибудь переменная входит в формулу больше одного раза, то на всех местах, где она входит в данную формулу, ее нужно заменять одним и тем же высказыванием. Например, из формулы

((р  q)  p)

можно получить высказывание Если 12 делится на 2 и 12 делился на 3, то 12 делится на 2, но нельзя получить ни высказывания Если 12 делится на 2 и 12 делится на 8, то 12 делится на 5, ни высказывания Если 12 делится на 2 и 12 делится на 3, то 12 делится на 6.

В дальнейшем, вместо того чтобы говорить, что формула в результате замены переменных истинными или ложными высказываниями превращается в истинное или ложное высказывание, мы будем говорить, что когда все переменные формулы принимают (получают) логическое значение истина или ложь , то и формула принимает (получает) одно из этих значений. Рассматривая вместо высказываний их логические значения, мы подчеркиваем, что нас интересует не конкретное содержание отдельных высказываний, а только то, истинны они или ложны.

Кроме описанного выше логического языка, употребляются языки с другим алфавитом. В некоторых из них для обозначения пропозициональных переменных употребляются первые буквы латинского алфавита (заглавные или строчные), для обозначения отрицания используют знаки ~ и , для конъюнкции — & и •, для импликации — знак , для эквивалентности —  и , для строгой дизъюнкции —  и др. В качестве метабукв употребляют буквы готического и греческого алфавита. Существуют также языки, в которых вместо скобок в качестве разделительных знаков употребляют точки или квадратики.

Наконец, прибегают к следующему бесскобочному логическому языку, предложенному польским логиком Я. Лукасевичем. Алфавит: пропозициональные переменные — р, q, r, s, .... логические знаки — N (отрицание), К (конъюнкция), А (дизъюнкция), С (импликация), Е (эквивалентность), J (строгая дизъюнкция).

Определение формулы: 1) пропозициональная переменная есть формула; 2) если  формула, то N формула; 3) если  и  формулы, то K, A, C, E и J — формулы.

Таким образом, формула

((~p  q)  (p  (r  ~s)))

будет в этом языке иметь вид

CENpqApKrNs

и т.п.

Упражнения

I. Проверить, являются ли следующие выражения формулами логики высказываний, и для каждой формулы построить «дерево формулы»:

1) (((р  r)  q)  ~р)  (р  q);

2) (р  q)  ((р  r)  ~r);

3) ((p  q)  (q  r)  (p  r));

4) ((~(~p  q)  p)  ~r.

II. Как можно расставить скобки в следующих последовательностях знаков, чтобы получилась формула:

1) ~р  ~q  r;

2) ~~р  q  ~r  q.

III. Перевести на язык Лукасевича следующие формулы:

1) (((p  q)  r)  s);

2) (p  (q  (r  s)));

3) (((р  q)  ~r)  ((r  s)  ~(р  q))).

IV. Перевести с логического языка Лукасевича на наш язык следующие формулы:

1) KpNCNqArs;

2) ANCKNANrqrsNp:

3) AENpJqrCCKprAqspr.