Глава09-Азимутальные_проекции
.pdf1
Глава 9. Азимутальные проекции и их применение в структурной геологии и геокартировании.
9.1. ВВЕДЕНИЕ
В ходе предыдущих занятий мы не раз сталкивались с необходимостью определения положения того или иного структурного элемента в пространстве. Так, от ориентировки шарнира складки (горизонтальный или наклонный) зависит каким способом строить разрез через складчатую систему. Однако, далеко не всегда есть возможность замерить элементы залегания шарнира непосредственно в поле, гораздо чаще, особенно для складок регионального размера, мы можем наблюдать только их крылья. Как определить ориентировку шарнира, зная только элементы залегания крыльев складки? В природе довольно часто бывает, что хорошо обнажены только долины рек и/или скалистые хребты, а широкие склоны покрыты растительностью. Как в этом случае определить геометрические характеристик складок, чтобы составить правдоподобную карту? Как мы уже говорили ранее, трещины скалывания образуют системы сопряженных трещин, и биссектриса острого угла будет указывать нам ось сжатия, а биссектриса тупого угла – ось растяжения. В поле мы замерили две сопряженные трещины, причем обе оказались наклонными. Как определить биссектрисы двугранных углов и ориентировки сжатия-растяжения? Наконец, мы анализируем геологическую карту и хотим определить величину углового несогласия, но оба комплекса – перекрывающий и подстилающий залегают наклонно с разными азимутами и углами падения. Как определить величину углового несогласия в этом случае?
Эти и другие задачи (а в реальности задач такого рода гораздо больше) по сути дела сводятся к определению пространственного положения линий или плоскостей и различного рода операциям с ними. Строгая обработка пространственных данных и получение точного решения производится методами линейной алгебры и аналитической геометрии, требующими хотя и несложных, но сравнительно трудоемких расчетов. Для практической геологии, где в большинстве случаев точность определения элементов залегания не превышает 1-2°, вполне достаточны приближенные методы, связанные с обработкой данных при помощи азимутальных проекций и изготовляемых при их помощи специальных сеток, получаемых за счет проекции шара на плоскость, проходящую через его центр. Эти методы просты, легки в использовании – нередко предварительные оценки можно сделать прямо в маршруте, и, что немаловажно, наглядны. Азимутальные проекции имеют широкое распространение в кристаллографии, микроструктурном анализе, исследованиях минералов на столике Федорова, литологии и других геологических дисциплинах, но набор решаемых задач по своему содержанию довольно сходен.
9.2. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АЗИМУТАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЯХ
Пространственное положение любого линейного или плоскостного объекта может быть однозначно определено с помощью двух углов, один из которых по установившейся в геологии традиции называется азимутом падения, а другой – углом падения. Следует подчеркнуть, что положение плоскости в пространстве может быть однозначно определено двумя способами – определением элементов залегания как самой плоскости, так и нормали (перпендикуляра) к ней. В любом случае, эти два угла – азимут и угол падения – эквивалентны угловым координатам в сферической системе координат, где положение в пространстве любой точки определяется при помощи двух углов (аналоги азимута и угла падения) и расстояния до нее. Единственная оговорка,
2
которая необходима для того, чтобы аналогия со сферической системой координат была полной – мы должны предположить, что замеряемые нами плоскости и линии проходят через начало системы координат.
Рисунок 9.1. Сферическая система координат. Очевидно, что угол ϕ здесь является аналогом азимута падения некоторой линии, а угол (90° – θ) – аналогом угла падения. Угол θ называется полярным расстоянием.
Учитывая эту связь между сферической системой координат и теми измерениями элементов залегания, которые мы проводим с помощью компаса в поле, вполне естественной является представление линий и плоскостей в виде их пресечения со сферической поверхностью. Поскольку в природе нас интересуют только угловые соотношения, то мы изучаем соотношения линий и плоскостей со сферой произвольного радиуса. Для линии пересечение со сферой всегда будет точкой, а для плоскости – линией. В то же время, ориентировка плоскости в пространстве однозначно определяется нормалью к ней, которая, как и любая другая линия, будет пересекать сферу в некоторой точке. Важно подчеркнуть, что в любом случае эти точки и/или линии на сфере однозначно отражают положение соответствующих линий и/или плоскостей в пространстве. Соответственно, проекции этих точки и линии на любую проходящую через центр сферы плоскость так же будут точкой или линией (рис. 9.2).
Рисунок 9.2. Изображение линии и плоскости в азимутальной проекции.
3
Поскольку изображение как линий, так и плоскостей можно свести к изображению точек то соответствующие диаграммы часто называют точечными диаграммами.
Координаты любой точки на сфере определяются с помощью координатных линий, аналогичных географическим меридианам и параллелям. Следовательно, любая проекция шара на плоскость так же должна содержать проекции этих координатных линий. Изображение сферических координатных линий на плоскости называется сеткой. Существует огромное количество различных сеток, но наиболее широко используются полярные (нормальные) и экваториальные (поперечные) сетки (рис. 9.3).
Рисунок 9.3. Полярная (А) и экваториальная (Б) сетки.
При построении полярных сеток проектирование производится сверху шара и полюс изображается точкой в центре окружности, параллели – концентрическими окружностями, а меридианы – радиусами. При построении экваториальной сетки плоскость, на которую производится проектирование, проходит через оба полюса сферы. При этом меридианы и параллели образуют систему аналогичную таковой на карте географических полушарий. При проектировании сферы на плоскость неизбежно возникновение искажений. В зависимости от характера искажений выделяют
равноугольные, равноплощадные и равнопромежуточные проекции. Хотя все они равнозначны, в геологии наибольшее распространение получили равноугольные и равноплощадные проекции (рис. 9.4). В равноугольной, равноплощадной и равнопромежуточной проекциях могут быть построены как полярная, так и экваториальная сетки. В экваториальной сетке все меридианы и экватор называются дугами большого круга, тогда как все остальные траектории – дугами малых кругов.
Рисунок 9.4. Экваториальные сетки. А – равноугольная проекция (сетка Вульфа), Б – равноплощадная проекция (сетка Шмидта), В – сравнение искажений площадей и форм объектов на сетках Вульфа (верхняя диаграмма) и Шмидта (нижняя диаграмма).
4
Сетка, построенная при равноугольной проекции сферы на плоскость называется сеткой Вульфа по имени создавшего ее ученого. Как видно из названия, равноугольная проекция позволяет сохранить без искажений угловые расстояния между объектами и, следовательно, сохраняет форму проектируемого объекта. При этом круг на сфере изображается в виде круга на ее проекции (сетке Вульфа), а координатные линии являются дугами кругов с различным радиусом. Площади объектов, однако искажаются весьма сильно и площадь круга на сфере и его проекции на плоскости могут отличаться весьма сильно (рис. 9.4). Так, при полярном расстоянии в 0° площади на подвергаются изменениям, 30° – площадь круга на сетке Вульфа будет в 1,15 раза больше площади круга на сфере, при полярном расстоянии в 60° площадь круга увеличится в 1,79 раз, а при полярном расстоянии в 90° площадь круга увеличится в 4 раза. Поэтому оценивая симметрию рисунков на сфере по их проекции, необходимо помнить об этих искажениях. Так, полоса, имеющая на сфере параллельные края на сетке Вульфа превращается в полосу, заметно расширяющуюся к краям сетки. Равноугольную проекцию называют так же стереографической проекцией.
Сетка, построенная при равноплощадной проекции сферы на плоскость называется сеткой Шмидта по имени создавшего ее ученого. Равноплощадная проекция сохраняет площади объектов при проектировании их со сферы, откуда и пошло название проекции. При этом, однако, искажаются угловые расстояния и форма объектов (рис. 9.4). Так, круг на сфере проектируется в круг только при полярном расстоянии 0°, а во всех остальных случаях круг превращается в равновеликий эллипс, называемый эллипс искажений. Одновременно происходит искажение масштабов по главным осям и при проецировании круга с радиусом 1 если при полярном расстоянии 30° эллипс практически неотличим от круга, то при полярном расстоянии 60° длины осей эллипса становятся равными 0,89 и 1,14, а при полярном расстоянии 90° длины осей эллипса становятся равными 0,71 и 1,41. Соответственно, координатные линии хотя и похожи на дуги кругов, но на самом деле являются довольно сложными кривыми.
Круг задач, решаемых на сетках Вульфа и Шмидта, одинаков. Изображение структурных элементов, для которых наиболее важны угловые соотношения, лучше производить на сетке Вульфа, сохраняющей угловые соотношения неискаженными. В тех случаях, когда необходимо произвести статистическую обработку данных и определить максимумы концентраций тех или иных направлений, предпочтительной является сетка Шмидта, сохраняющая площади объектов. Выбор сетки определяется как характером поставленных задач, так и предпочтениями исследователя.
При построении азимутальных проекций проектирование может проводиться как верхней, так и нижней полусферы. Произведение расчетов происходит одинаково в обоих случаях, поскольку изображения в обоих видах проекций отличаются лишь тем, что они симметричны относительно центра сферы. Способы же нанесения данных в проекциях нижней и верхней полусферы немного отличаются, о чем еще будет говориться ниже. В кристаллографии и минералогии на кристалл смотрят сверху, поэтому предпочитают пользоваться проекцией верхней полусферы, при работе в поле замеряемые элементы залегания (в первую очередь угол падения) направлены от наблюдателя вниз, поэтому в структурной геологии предпочитают проекцию нижней полусферы. Тем не менее, строгих нормативов здесь нет и выбор проекции определяется главным образом желанием исследователя.
5
В структурной геологии наиболее часто пользуются сеткой Шмидта, проекция нижней полусферы, хотя никаких строгих правил на этот счет нет. В последние годы появились многочисленные компьютерные программы, позволяющие представлять результаты расчетов в любой форме. Единственное обязательное условие – тип сетки и проекция какой полусферы всегда должны быть оговорены для избежания недоразумений.
9.3. ИЗОБРАЖЕНИЕ ЛИНИЙ И ПЛОСКОСТЕЙ С ПОМОЩЬЮ АЗИМУТАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ
Для всех сеток принято, что север находится вверху диаграммы, юг – внизу, восток – справа и запад – слева. Полярные сетки очень наглядны и удобны для нанесения точечных данных, поскольку азимут и угол падения линии наносятся прямо на сетку – концентрические окружности указывают величину угла падения, а направление радиуса соответствует реально замеряемому азимуту падения. Однако нанесение окружностей в виде линий возможно только на экваториальных сетках, и, что еще более важно, решение многих задач по обработке данных возможно только на экваториальных сетках. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать только экваториальные сетки. Поскольку большинство операций производится на сетках Вульфа и Шмидта одинаково, то в дальнейшем мы будем говорить просто об экваториальной сетке, упоминая тип сетки только когда в этом есть необходимость.
Нанесение и обработка данных на экваториальных сетках производится не непосредственно на них самих, а на накладке – матовом стекле или кальке, наложенной на сетку и свободно вращающейся вокруг вертикальной оси, проходящей через центр сетки. Обычно для этого сетка наклеивается на жесткую основу, в центре которой закрепляется штырь, на который и "одевается" накладка – матовое стекло или калька. На накладку наносится окружность, ограничивающая сферу, и штрихом указывается направление на север. После этого экваториальная сетка готова к работе.
9.3.1. Нанесение проекций линий Рассмотрим нанесение проекции линии на экваториальную сетку на конкретном
примере. Допустим, азимут погружения линии 220°, а угол погружения – 30°. Последовательность действий такова (рис. 9.5)
1)Поворачиваем накладку против хода часовой стрелки на 220° (азимут погружения).
2)Используя параллели (дуги малых кругов) на сетке, откладываем по центральному
меридиану, то есть по направлению север – юг, 30° (угол погружения) от края сетки к ее центру и отмечаем эту точку. Если мы работаем с верхней полусферой, то 30° отсчитываются от южного (нижнего) края сферы, если же работа производится с проекцией нижней полусферы, то 30° отсчитываются от северного (верхнего) края сферы.
3) Возвращаем накладку в первоначальное положение, то есть поворачиваем ее по ходу часовой стрелки на 220°, после чего штрихи, указывающие направление на север на накладке и на сетке, совпадают. При повороте накладки поворачивается и нанесенная нами точка, которая в итоге занимает свое местоположение.
6
Рисунок 9.5. Последовательность операций при нанесении проекции линий на экваториальную сетку, А – проекция нижней полусферы, Б – проекция верхней полусферы.
Если сейчас снять накладку и наложить на однотипную полярную сетку, то будет видно, что нанесенная нами точка располагается на диаметре, ориентированном под углом 220° к направлению на север и на окружности, отвечающей углу падения 30° (рис.9.6).
Рисунок 9.6. Нанесение проекции линии на полярную сетку.
Таким образом, нанесение проекций линий на полярной сетке производится непосредственно, без дополнительных поворотов накладки. По этой причине, если
7
необходимо нанести на сетку проекции множества линий, например 300-400 замеров, то проще всего нанести их на полярной сетке, а потом эту накладку наложить на соответствующую экваториальную сетку. При этом важно помнить, что сетки обязательно должны быть одинакового размера и однотипные – если мы наносим данные на равноплощадную полярную сетку, то дальнейшая обработка должна вестись только на равноплощадной экваториальной сетке, если же данные наносились на равноугольную полярную сетку, то дальнейшая обработка должна вестись только на равноугольной экваториальной сетке.
Для того, чтобы определить элементы залегания уже нанесенной на азимутальную проекцию линии, последовательность операций становится обратной. Рассмотрим пример работы с нижней полусферой (рис. 9.7):
Рисунок 9.7. Последовательность операций при определении элементов залегания проекции линии на экваториальную сетку (проекция нижней полусферы)
1)Поворачиваем накладку против хода часовой стрелки таким образом, чтобы проекция линии (точка) оказалась на центральном меридиане в его верхней части.
2)Против хода часовой стрелки отсчитываем угол между направлением на север на сетке и на накладке. Этот угол будет азимутом погружения линии. В рассматриваемом примере он равен 60º.
3)Используя параллели (дуги малых кругов) на сетке, на каком угловом расстоянии находится проекция искомой линии (точка) от северного полюса. Этот угол будет углом погружения линии. В рассматриваемом примере он равен 60º.
Элементы залегания линии – азимут погружения 60º, угол погружения так же равен 60º.
При работе с верхней полусферой проекция линии совмещается центральным меридианом в его нижней части и отсчет угла погружения производится от южного полюса.
9.3.1. Нанесение проекций плоскостей Рассмотрим нанесение проекции плоскости на экваториальную сетку на конкретном
примере. Допустим, азимут падения плоскости 70°, а угол падения – 20°. Как мы уже говорили ранее, пространственное положение плоскости можно однозначно определить как через проекцию самой плоскости, так и через проекцию нормали к ней (рис. 9.8).
8
Рисунок 9.8. Последовательность операций при нанесении проекции плоскости в виде линии на экваториальную сетку, А – проекция нижней полусферы, Б – проекция верхней полусферы.
Последовательность действий для нанесения проекции плоскости в виде дуги большого круга такова:
1)Совмещаем направление на север на накладке с восточным (правым) концом экватора и поворачиваем на 70° (азимут падения плоскости) против хода часовой стрелки.
2)Используя меридианы (дуги больших кругов) на сетке отсчитываем 20° (угол падения плоскости) от края сетки к ее центру. Если мы работаем с верхней полусферой,
то 20° отсчитываются от противоположного, то есть западного (левого) края сферы, если же работа производится с проекцией нижней полусферы, то 20° отсчитываются от того же, то есть восточного (правого) края сферы. Через эту точку проводится соответствующий меридиан сетки.
3) Возвращаем накладку в первоначальное положение когда штрихи, указывающие направление на север на накладке и на сетке, совпадают. При повороте накладки поворачивается и нанесенный нами меридиан (дуга большого круга), который в итоге занимает свое местоположение.
Нанесение проекции плоскости в виде нормали к ней производится следующим образом (рис. 9.9):
9
Рисунок 9.9. Последовательность операций при нанесении проекции плоскости в виде точки (полюса) на экваториальную сетку, А – проекция нижней полусферы, Б – проекция верхней полусферы.
1)Совмещаем направление на север на накладке с восточным (правым) концом экватора и поворачиваем на 70° (азимут падения плоскости) против хода часовой стрелки.
2)Используя меридианы (дуги больших кругов) на сетке отсчитываем 20° (угол падения плоскости) от центра сетки к ее краю. Если мы работаем с верхней
полусферой, то 20° отсчитываются от центра в восточном направлении, если же работа производится с проекцией нижней полусферы, то 20° отсчитываются от центра) края сферы. Через эту точку проводится соответствующий меридиан сетки.
3) Возвращаем накладку в первоначальное положение когда штрихи, указывающие направление на север на накладке и на сетке, совпадают. При повороте накладки поворачивается и занимает свое местоположение нанесенная нами точка – проекция перпендикуляра к плоскости.
Оба способа нанесения плоскостей – в виде дуг большого круга и в виде точек – равноправны и применяются в зависимости от поставленных задач. Изображение перпендикуляров к плоскостям называется нанесением полюсов к плоскостям, а соответствующая диаграмма называется π – диаграммой. Диаграмма с изображением плоскостей в виде дуг большого круга называется β – диаграммой.
При решении обратной задачи – определение элементов залегания плоскости по π – или β – диаграмме производится следующим образом (на примере нижней полусферы, рис. 9.10):
10
Рисунок 9.10. Последовательность операций при определении элементов залегания плоскости А) на β – диаграмме, Б) на π – диаграмме (проекция нижней полусферы)
1) Против хода часовой стрелки поворачиваем накладку таким образом, чтобы дуга большого круга располагалась справа от центрального меридиана и соединяла северный и южный полюсы (β – диаграмма). Для π – диаграммы проекция нормали должна оказаться на экваторе слева от центрального меридиана.
2) Против хода часовой стрелки отсчитываем угол между направлением на восток на сетке и направлением на север на накладке. Этот угол будет азимутом падения плоскости. В рассматриваемом примере этот угол равен 120º. Важно подчеркнуть, что в действительности поворот накладки относительно направления на север был сделан лишь на 30º, но для плоскостей азимут падения определяется относительно направления на восток. Эта процедура для β – и π – диаграмм одинакова.
3) По экватору с помощью меридианов (дуг большого круга) отсчитываем угловое расстояние между восточным краем сетки и искомой плоскостью (β – диаграмма). Для π – диаграммы расчет ведется по экватору между центром азимутальной проекции и проекцией нормали. Этот угол будет углом падения плоскости. В данном примере он равен 35º.
Таким образом, элементы залегания плоскости – азимут падения 120º, угол падения
35º.
9.4. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ НА ЭКВАТОРИАЛЬНЫХ СЕТКАХ
Число задач, решаемых с помощью экваториальных сеток, очень велико и мы ограничимся лишь некоторыми, наиболее часто возникающими в геологической практике. Здесь и в дальнейшем все примеры рассматриваются на сетке Шмидта, проекция нижней полусферы. Хотя все приведенные ниже задачи легко решаются с помощью компьютерных программ, для понимания азимутальных проекций мы рассмотрим последовательность операций при работе с сетками вручную. Как уже говорилось выше, на сетку наложена прозрачная накладка, вращающаяся вокруг центра сетки. На накладке проведена окружность – край сетки, и отмечена риска, указывающая направление на север. В начале работы направление на север на накладке и сетке совпадают.
9.4.1. Определение элементов залегания линии пересечения двух плоскостей Для определения элементов залегания линии пересечения двух плоскостей обе плоскости наносятся на сетку как дуги большого круга (β – диаграмма). Точка, в которой они пересекаются, и есть линия пересечения плоскостей (рис. 9.11). Для определения ее элементов залегания, необходимо выполнить последовательность операций, приведенных на рис. 9.7.