9. Ряды

1. Числовые ряды.

   1. Исследовать на сходимость ряды с положительными членами:

а) ; б) ;

в) ; г) .

2. Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся ряды:

а) ; б) .

2. Степенные ряды.

   1. Найти область сходимости степенного ряда:

а) ; б) .

2. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х₀:

а) ; б) .

3. С помощью разложения в ряд вычислить приближенно с точностью 0,001 значения:

а) ; б) .

3. Ряды Фурье.

   1. Разложить функцию в ряд Фурье в указанном интервале:

а)

в интервале ;

б) в интервале .

в) в интервале .

10. Функции комплексного переменного

1. Действия с комплексными числами.

   1. Выполнить действия:

а) ; б) .

2. Решить уравнения:

а) ; б) .

2. Аналитические функции.

   1. Показать, что функция аналитична.

   2. Известна вещественная часть u(x,y)=m(x²-y²)+mx-ny аналитической функции f(z), (z=x+iy). Найти функцию f(z).

3. Интегрирование функций комплексного переменного.

   1. Вычислить , где контур С – незамкнутая ломанная, соединяющая точки , и .

   2. Вычислить с помощью интегральной формулы Коши

.

4. Ряды Тейлора и Лорана.

   1. Разложить функцию в окрестности точки в ряд Тейлора и найти радиус сходимости ряда.

   2. Разложить функцию в окрестности точки в ряд Лорана.

   3. Разложить функцию в ряд Лорана по степеням и найти область сходимости ряда.

5. Вычеты и их приложения.

   1. Определить тип особых точек функции и найти вычеты в конечных особых точках.

   2. Вычислить с помощью вычетов , где контур C, заданный уравнением , обходится против часовой стрелки.

11. Операционное исчисление

1. Нахождение изображений и восстановление оригиналов.

   1. Найти изображения функций:

а) ; б) .

2. Восстановить оригиналы по изображениям:

а) ; б) .

2. Приложения операционного исчисления.

   1. Решить операционным методом дифференциальное уравнение:

а) ;

б) .

12. Теория вероятностей