10.7. Стохастична модель відновлення

Заміна устаткування. Важливим частковим випадком моделі відновлення є модель заміни устаткування. У детерміністичному варіанті цієї задачі з індексом k пов’язана тривалість часу, протягом якого той або інший пристрій (деталь, прилад і т.д.) функціонує нормально, тобто залишається придатним для експлуатації. У стохастичному варіанті задачі відновлення допускається, що пристрій може вийти з ладу (наприклад, у результаті поломки) ще до запланованого моменту заміни, тобто до настання відрізка t+k. Іншими словами, якщо на відрізку t планується заміна пристроїв, що прослужили термін k, а пристрій виходить з ладу на відрізку t+j(j < k), те цим передбачається, що заміна устаткування повинна відбутися на відрізку t + j + 1. Введемо наступні позначення:

k – відрізок часу, на якому планується зробити заміну устаткування;

p_j – імовірність того, що перша поломка устаткування відбудеться протягом j -го відрізка використання;

r_j – вартість експлуатації устаткування протягом j-го відрізка, якщо цей пристрій залишиться справним;

(r_j+s_j) – вартість експлуатації устаткування, якщо поломка відбудеться протягом j-го відрізка (j < k, s_j > 0).

При цьому ∑ p_j = 1, a r₁ включає первісну вартість пристрою (для простоти припустимо, що устаткування, що вийшло з ладу, повністю знецінюється). Величину s_j можна розглядати як збиток, обумовлений передчасною поломкою устаткування.

Припустимо, що оптимальною є стратегія, що мінімізує математичне чекання дисконтованих витрат. Якщо наступив відрізок відновлення і рішення, пов’язане з плануванням заміни устаткування, полягає у виборі k-го варіанта, то до складу очікуваних дисконтованих витрат входять усі перераховані нижче компоненти. По-перше, необхідно врахувати середні дисконтовані витрати у черговий, а також в усі наступні моменти відновлення у випадку, якщо устаткування вийде з ладу раніше запланованого відрізка часу. По-друге, варто врахувати середні дисконтовані витрати в черговий і в усі наступні моменти відновлення у випадку, якщо устаткування не вийде з ладу до запланованого періоду відновлення. Нарешті, потрібно додати очікувані експлуатаційні витрати у період між поточним та черговим моментами відновлення.

Отже, у випадку обмеженого планового періоду в результаті належного узагальнення співвідношення (3) для п ≥ N та 0 ≤ α ≤ 1 одержуємо

(8)

причому тепер

(9)

Тут, як і в наступних формулах, для k = 1 знак підсумовування, природно, опускається. (Як і раніше, при п < N мінімізація в (8) здійснюється над множиною значень k = 1, 2, ..., п).

Необмежений плановий період. У випадку планового періоду нескінченної довжини в співвідношенні (8) всі індекси при f варто опустити. При цьому стохастичний аналог формули запишеться у наступному вигляді:

(10)

де

(середнє значення коефіцієнта

дисконтування), (11)

a R_k визначається за допомогою (9). співвідношення (10) можна переписати у вигляді

(математичне чекання

дисконтованого значення) (12)

Тут f є математичним чеканням дисконтованих витрат при необмеженому плановому періоді у випадку, коли реалізується оптимальна стратегія.

У співвідношеннях (10) і (12) апріорно допускається, що оптимальної є стаціонарна стратегія (щораз, коли виробляється закупівля нового обладнання, у якості планованого відрізку заміни завжди вибирається k-й). Правомірність такого припущення може бути доведена строго.

Таким чином, після того як виявляються обчисленими [за формулою (11)] математичні чекання коефіцієнтів дисконтування, пошук оптимального рішення за допомогою (12) стає не складніше оптимізаційного процесу.

У випадку коли α = 1, у формулі (12) необхідно перейти до еквівалентного усередненого показника g = (1 – α)f, після чого згадане співвідношення приймає вигляд

(13)

звідки, як легко переконатися, походить

(очікувані витрати за один

відрізок планового періоду), (14)

де R_k обчислюється за допомогою (9) при α = 1, а

(середнє значення термінів

заміни устаткування). (15)

Помітимо, що (15) визначає очікуване число відрізків використання кожного пристрою (компонента устаткування) при заданому планованому терміну заміни k. Отже, у формулі (14) величину g можна інтерпретувати як мінімальне значення відносини очікуваних витрат протягом інтервалу часу між двома послідовними моментами заміни до математичного чекання довжини цього інтервалу. Отже, g є мінімальними очікуваними витратами за один відрізок при необмеженому плановому періоді. При цьому також можна довести, що вибір стаціонарної стратегії у зв’язку з пошуком оптимального варіанта є цілком обґрунтованим.

• Запитання для самоконтролю

1. Для чого використовуються імовірнісні моделі динамічного програмування ?

2. В чому полягає задача розподілу зусиль ?

3. Що таке дерево рішень ?

4. В чому полягає елементарна модель управління запасами?

5. Як визначити розмір партії ?

6. В чому полягає задача складання комерційного прогнозу ?

7. В чому полягає стохастична модель відновлення ?

194