3. Проблема поліпшення якості продукції та дерево рішень

Раніше було сформульовано наступне фундаментальне положення щодо знаходження оптимальних рішень динамічної задачі організаційного управління при наявності в ній стохастичних елементів: оптимізації підлягають спочатку лише значення керованих перемінних, обраних на першому кроці, а для наступних інтервалів часу встановлюються оптимальні правила прийняття керуючих рішень. Ці правила дозволяють визначити оптимальний варіант дій при наявності інформації про фактично реалізовані результати у минулому, тобто до моменту ухвалення рішення.

Нехай фірма займається корінним удосконаленням установок, що випускаються нею, для кондиціонування повітря в побутових приміщеннях. Проект просунутий настільки, що зміни в існуючі конструкції можна було б внести негайно. Однак фірма воліє почекати завершення додаткових досліджень і закінчення випробувань, оскільки ще не переборені деякі труднощі, що ускладнюють організацію відповідного технологічного процесу. З іншого боку, президент фірми розуміє, що якщо затримка буде занадто великою, то деякі з конкурентів неодмінно оголосять про аналогічне удосконалення своїх виробів, і фірма втратить частку свого ринку. Таким чином, виникає проблема ухвалення компромісного рішення, що враховує, з одного боку, потенційний прибуток у випадку, якщо до початку випуску удосконаленого виробу будуть усунуті всі технічні дефекти проекту, а з іншого боку – можливу втрату ринку збуту у випадку, якщо конкуруючі фірми випередять фірму з випуском удосконалених установок для кондиціонування повітря.

Спробуємо описати цю ситуацію математично. Припустимо, що президент фірми прагне до того, щоб оптимальним чином вирішити, у якому місяці оголосити про випуск модернізованих виробів. Нехай президент фірми вважає, що це оголошення необхідно зробити не пізніше місяця Т й що він внесе зміни в конструкції установок, які випускаються фірмою, відразу ж, як тільки це зробить хоча б одна з конкуруючих фірм. Введемо наступні позначення:

r_t – прибуток, одержуваний фірмою у випадку, якщо про удосконалені установки буде оголошено в 2-й місяць, причому раніше, ніж це зроблять конкуруючі фірми;

g_t – прибуток, одержуваний фірмою у випадку, якщо вона (у t-й місяць) внесе зміни в конструкцію своєї установки, причому зробить це одночасно з конкуруючими фірмами;

h_t – прибуток, одержуваний фірмою у випадку, якщо вона оголосить про удосконалену установку в t-й місяць, причому після того, як конкуруючі фірми вже почали аналогічні кроки.

Імовірніше всього (хоча це і не так істотно) можна постулювати, що r_t > g_t > h_t, й те, що r_t, g_t та h_t є зростаючими функціями часу.

Припустимо, що якщо до t-го місяця не робилося ніяких оголошень про випуск моделей, то фірма, так само як і конкуруючі з нею фірми, приймають у t-й місяць рішення незалежним чином, не володіючи ніякою інформацією про поточні рішення своїх конкурентів. Відповідно до такої ситуації допустимо, що президент фірми вважає імовірність того, що в 2-й місяць конкуруючі фірми оголосять про випуск удосконалених установок, рівною p_t за умови, що до цього часу жодний з конкурентів не почав подібних кроків; при цьому президент фірми вважає, що р_Т = 1. Потім, відповідно до припущення, постулюється, що умовні імовірності р не залежать від того, якої конкретної стратегії буде дотримуватися фірма. Однак президент фірми абсолютно переконаний, що якщо його фірма впровадить удосконалення в t-му місяці, випередивши при цьому своїх конкурентів, то останні неодмінно внесуть аналогічні зміни в моделі установок для кондиціонування повітря, що випускаються ними, у наступний період. Тому він робить чисельну оцінку r_t з урахуванням прогнозованої реакції конкуруючих фірм.

Структура процесу ухвалення управляючого рішення може бути описана деревом рішень, представленим на рис. 10.1 (для випадку Т = 3). За допомогою букв Ф та К, проставлених у вузлових точках, показано, ким починається дія (фірмою або її конкурентами). Процес вироблення рішення завершується в 2-й місяць за умови, що або фірма, або її конкуренти відмовляються від вичікувальної тактики (якщо ж усі фірми дотримують „політики відстрочки”, то дерево рішень продовжує гілкуватися).

Позначення: Ф – рішення президента фірми

К – рішення конкурентів

Рис. 10.1. Дерево рішень фірми (задача поліпшення якості продукції)

Нижні гілки дерева відповідають першому крокові (або рішенню, яке президент фірми повинний прийняти негайно). Якщо він виражає намір ввести удосконалення свого виробу негайно, процес формування рішення припиняється. Якщо ж приймається рішення „виждати”, то при цьому у залежності від результату випадкової події, що характеризує поводження конкуруючих фірм, або зберігається, або губиться можливість вичікувати на відрізку 2.

Нехай президент фірми хоче виробити стратегію, що максимізувала б очікуване значення прибутку. Як і для будь-якої іншої задачі динамічного програмування, легко знайти оптимальне рішення у випадку, коли процес формування рішення продовжується аж до останнього періоду, тобто до відрізка Т. До цього моменту необхідно лише порівняти очікуваний прибуток при впровадженні проектованих удосконалень з очікуваним прибутком у випадку подальшої відстрочки початку випуску удосконалених виробів. Читач повинний пояснити, чому порівнювані значення прибутку дорівнюють відповідно і . Оскільки передбачається, що і , у випадку, якщо процес ухвалення рішення продовжується аж до останнього періоду, більш правильним є рішення впровадити удосконалені моделі у виробництво. Приведені вище розрахунки можна представити в наступному вигляді:

(1)

де є математичне чекання прибутку при оптимальному рішенні на відрізку Т.

Подивимося тепер, що відбувається на відрізку t, що передує відрізкові Т. Якщо президент фірми йде в цей період на впровадження удосконаленого виробу у виробництво, то очікуваний прибуток буде дорівнювати добуткові g_t на імовірність p_t того, що його конкуренти також оголосять про введення аналогічного нововведення плюс добуток r_t на імовірність (1 – p_t) того, що фірма застане своїх конкурентів зненацька. Якщо ж президент прийме рішення не вносити змін в існуючу конструкцію установки для кондиціонування повітря, то очікуваний прибуток буде складатися з h_tp_t та вартості чекання, або відстрочки, помноженої на імовірність (1 – p_t) того, що конкуруючі фірми також зволіють вичікувати. Яка вартість відстрочки? Вона просто дорівнює очікуваному значенню прибутку у випадку оптимальної стратегії за умови, якщо процес формування рішення продовжується до відрізка t+1 включно; позначимо вартість відстрочки через f_t+1. Тоді f_t перевершує математичне чекання прибутку в кожному з двох можливих варіантів рішень на відрізку t. Усі ці твердження легко узагальнюються за допомогою викладень, виконуваних рекурентним способом для t = Т – 1, ..., 1, та в результаті одержуємо

(2)

Для одержання оптимального правила прийняття рішень на наступних відрізках і визначення оптимального поводження на відрізку 1 варто виконати спочатку необхідні обчислення за допомогою (1), а потім продовжити обчислення, використовуючи формулу (2).

Рішення, що приводить до , є оптимальним для місяця 1. Якщо воно полягає в тому, щоб „не впроваджувати”, і конкуренти фірми не пішли на оголошення нових моделей, то рішення, що приводить до , є оптимальним для відрізка 2. Аналогічно знаходяться рішення у наступні місяці, причому кожного разу вибір варіанта дій залежить від фактичного поводження конкуруючих фірм.