10.5. Задача визначення оптимального розміру партії
Фірма, що випускає магнітофони промислового призначення, купує в іншої фірми ряд дорогих деталей, виготовлених по спеціальному замовленню. Фірма не тримає запасів таких деталей, тому що вона робить магнітофони на замовлення споживачів, а технічні умови замовників не повторюються. Оскільки вимоги до якості всіх блоків і пристроїв, що йдуть на виготовлення магнітофонів, є винятково високими, деталі згаданого вище типу нерідко виходять з ладу від короткого замикання в процесі попередніх технічних іспитів. У таких випадках фірма може повернути деталі, що відмовили, своєму постачальникові при повному відшкодуванні останнім їхньої вартості. Щоб не допустити економічних втрат і незручностей, пов’язаних із затримками у виробництві при чеканні заміни у випадку виявлення браку, фірма замовляє, як правило, велику партію у порівнянні з фактично необхідною кількістю деталей. Якщо ж, однак, замовлена партія виявиться занадто великою і, таким чином, виникнуть надлишки деталей, фірма потерпить збитки. (Це може відбутися тому, що постачальник, погодившись прийняти невикористані деталі, зможе в ряді випадків продати їх лише по більш низьких цінах. Можливі також випадки, коли постачальник не захоче прийняти надлишки деталей, тому що вони є занадто спеціалізованими і не мають інших споживачів).
Задача ухвалення рішення фірмою полягає у визначенні оптимального розміру партії деталей, що замовляється. Якби керуючий фірмою знав точно, скільки деталей виявиться непридатними для використання при будь-якому розмірі партії, задача ухвалення рішення була б досить простою. Керуючий цього не знає, і тому аналіз задачі стає нетривіальним. Введемо наступні позначення:
с – ціна однієї деталі, що придбавається у даного постачальника;
v – ціна однієї деталі, що опинилася у надлишку (при цьому 0 ≤ v ≤ с);
К – витрати, пов’язані з оформленням додаткового замовлення при виникненні такої необхідності;
Рх (j) – імовірність того, що з партії в х деталей j деталей виявляться непридатними для використання в процесі технічної перевірки (при цьому Рх (х) < 1).
Міркуючи про те, як буде розвиватися у часі відповідний процес ухвалення рішення, можна визначити спосіб побудови (для розглянутої задачі) відповідної багатокрокової оптимізаційної моделі. Припустимо, що необхідне число справних (придатних для використання) деталей дорівнює N, а замовлення оформляється на х деталей (х ≥ N). Якщо несправними виявляться j деталей, причому j > х – N, то потреби фірми будуть задоволені, але N – х + j деталей залишаться невикористаними. Якщо ж j > х – N, то незадоволені потреби фірми складуть N – х + j деталей. (Так, наприклад, якщо з 15 замовлених деталей 6 виявляться несправними, а фірмі потрібно 10 справних деталей, то додатково знадобиться 1 (= 10 – 15 + 6) справна деталь).
Таким чином, при j > х – N буде потрібно повторне замовлення. Виникаюча при цьому задача ухвалення рішення носить такий же характер, що й у попередньому варіанті. Різниця полягає лише в тому, що тепер потрібне менше число деталей (виключення складає ситуація, коли всі замовлені раніше деталі виявляються несправними). У будь-якому випадку для ухвалення рішення необхідна лише та інформація щодо попередньої партії деталей, що дозволяє визначити, яка кількість справних деталей потрібна фірмі додатково. Таким чином відповідною перемінною, що характеризує стан системи, є додаткове число справних деталей, в яких фірма відчуває потребу.
Нехай оптимальною є така стратегія, при якій мінімізуються очікувані сумарні витрати на повне задоволення потреб фірми в згаданих вище деталях. Позначимо через п необхідне число деталей і подивимося, чому будуть дорівнювати очікувані витрати, якщо замовити х деталей. Насамперед з повної вартості х деталей потрібно відняти математичне чекання вартості несправних деталей, тому що вони повертаються фірмі-постачальникові на умовах компенсації. Якщо ж число несправних деталей виявиться настільки незначним, що потреби фірми будуть цілком задоволені і навіть залишаться надлишки справних деталей, варто врахувати скорочення очікуваних сумарних витрат на величину вартості невитрачених деталей. Якщо ж число несправних деталей виявиться занадто великим і тому прийдеться робити додаткове замовлення, у вираз для сумарних очікуваних витрат необхідно додати величину витрат при повторному замовленні К, помножену на імовірність виникнення потреби в повторному замовленні; аналогічно враховуються очікувані витрати при повторному виникненні потреб у справних деталях.
Таким чином, позначивши через f(п) мінімальні очікувані витрати у випадку, коли потрібно п справних деталей, будемо мати:
(1)
Визначальне f(п) значення х(п) є оптимальним розміром партії. Послідовність х(п) для п = 1, 2, 3, ... являє собою оптимальне правило для ухвалення управляючого рішення.
Якщо потрібно N деталей, то послідовно обчислюються f(п) для п = 1, 2, ..., N. Помітимо, однак, що співвідношення (1) необхідно трошки перетворити, оскільки f(п) (при j = х) з’являється також і в правій частині згаданого співвідношення. Після деяких спрощень співвідношення (1) приводиться до вигляду, зручному для одержання чисельного рішення. За допомогою ряду нескладних алгебраїчних перетворень одержуємо наступний вираз:
(2)
у якому виключений член, що відповідає п = 1 .