- •1. Введение Основные понятия и определения
- •2. Динамические характеристики линейных систем
- •2.1. Дифференциальные уравнения
- •2.2. Составление математической модели
- •2.3. Структурные схемы
- •2.4. Переходная функция (переходная характеристика)
- •2.6. Переходная матрица
- •2.7. Передаточная функция
- •2.8. Модальные характеристики
- •2.9. Частотные характеристики
- •3. Структурный метод
- •3.1. Введение
- •3.1. Введение
- •3.2. Пропорциональное звено (усилительное, безынерционное)
- •3.3. Дифференцирующее звено
- •3.4. Интегрирующее звено
- •3.5. Апериодическое звено
- •3.6. Форсирующее звено (пропорционально - дифференцирующее)
- •3.7. Звено второго порядка
- •3.8.1. Последовательное соединение звеньев
- •3.8.2. Параллельное соединение звеньев
- •3.8.3. Обратная связь
- •3.8.4. Правило переноса
- •3.9. Переход от передаточных функций к уравнениям состояния с использованием структурных схем
- •3.10. Область применимости структурного метода
- •4. Устойчивость линейных непрерывных систем
- •4.1. Основные понятия и определения
- •4.2. Условие устойчивости линейных систем
- •4.3. Критерии устойчивости
- •4.3.1. Критерий устойчивости Гурвица
- •4.3.2. Критерий устойчивости Михайлова
- •Доказательство
- •4.3.3. Критерий устойчивости Найквиста
- •4.3.4. Логарифмическая форма критерия Найквиста
- •4.4.1.Основные понятия и определения
- •4.4.2. Частотные оценки запаса
- •4.4.3. Корневые оценки
- •4.4.4. Метод d-разбиения
- •5. Анализ переходных процессов
- •5.2. Показатели качества переходного процесса
- •5.2.1. Ошибка регулирования
- •5.2.2. Быстродействие
- •5.2.3. Перерегулирование
- •5.2.4. Интегральные оценки
- •5.3. Анализ статических режимов
- •5.3.1. Статические системы
- •5.3.2. Астатические системы
- •5.3.3. Следящие (позиционные) системы
- •5.4.1. Введение
- •5.4.2. Взаимосвязь между частотной характеристикой и импульсной функцией
- •5.4.3. Взаимосвязь между частотной и переходной характеристиками
- •5.4.4. Оценки качества переходного процесса по вещественной частотной характеристике
- •5.4.5. О начальном участке переходной характеристики
- •5.5.1. Введение
- •5.5.2. Корневые оценки переходного процесса
- •5.6.1. Система 1-го порядка
- •5.6.2. Система 2-го порядка
- •5.6.3. Система 3-го порядка
- •6. Синтез линейных систем
- •6.1. Основные понятия
- •6.2. Постановка задачи синтеза одноканальных систем
- •6.3. Условия разрешимости задачи синтеза
- •6.3.1. Ресурсное ограничение
- •6.3.2. Устойчивость “обратного” объекта
- •6.3.3. Вырожденность передаточной функции
- •6.3.4. Управляемость
- •6.3.5. Наблюдаемость
- •6.4.1. Постановка задачи
- •6.4.2. Влияние частотной характеристики разомкнутой системы на свойства замкнутой
- •6.4.3. Основные соотношения и методика расчета
- •6.4.4. Построение лачх объекта
- •6.4.5. Построение желаемой лачх
- •6.4.6. Расчет корректирующего звена
- •6.4.7. Влияние возмущения и помехи измерения на свойства замкнутой системы
- •6.5.1. Основные понятия
- •6.5.2. Постановка задачи синтеза для одноканального объекта
- •6.5.3. Обеспечение заданной статики
- •6.5.4. Расчет корректора динамики
- •6.5.5. Схема реализации регулятора
2.6. Переходная матрица
Эта характеристика применяется для описания многоканальных систем вида (2.1) - (2.2) при нулевых входных воздействиях, то есть для автономных систем типа:
. |
(2.12) |
Переходная матрица - это решение матричного дифференциального уравнения
|
(2.13) |
при нулевых входных воздействиях и единичных начальных условиях
где
Она обладает следующими свойствами:
для любого
|
(2.14) |
Зная переходную матрицу, можно определить реакцию системы
на произвольное входное воздействие при любых начальных условиях x(0) по выражению
. |
(2.15) |
Здесь первое слагаемое - свободная составляющая движения, второе - вынужденная. Для выходных переменных имеем
|
(2.16) |
Если система имеет нулевые начальные условия x(0)=0, то
, |
(2.17) |
. |
(2.18) |
Матрица называется матричной импульсной функцией потому что каждая компонента ее представляет собой импульсную функцию , которая является реакцией i-го выхода на j-ое импульсное входное воздействие при нулевых остальных входных воздействиях и начальных условиях.
Для многоканальных систем может быть определена также матричная переходная характеристика в виде
|
(2.19) |
Для линейных систем с постоянными параметрами переходная матрица Ф(t) представляет собой матричную экспоненту
|
(2.20) |
где
С учетом (2.20) выражения (2.15) и (2.16) принимают вид
|
(2.21) |
|
(2.22) |
Матричная импульсная функция линейной системы с постоянными коэффициентами следующая:
|
(2.23) |
При небольших размерах или простой структуре матрицы A выражение (2.20) может быть использовано для точного представления переходной матрицы с помощью элементарных функций. В случае большой размерности матрицы A следует использовать существующие программы для вычисления матричного экспоненциала.
2.7. Передаточная функция
Наряду с обыкновенными дифференциальными уравнениями в теории автоматического управления используются различные их преобразования. Для линейных систем эти уравнения удобнее записывать в символической форме с использованием так называемого оператора дифференцирования
,
что позволяет преобразовывать дифференциальные уравнения как алгебраические и ввести новую динамическую характеристику - передаточную функцию.
Рассмотрим этот переход для многоканальных систем вида (2.6)
Запишем уравнение состояния в символической форме:
px = Ax + Bu ,
что позволяет определить вектор состояния
|
(2.24) |
и выходные переменные системы
|
(2.25) |
Матрица взаимосвязи между выходными переменными и управляющими воздействиями в выражении (2.25) при нулевых начальных условиях называется матричной передаточной функцией и обозначается
(2.26)
|
(2.26) |
Она представляет собой матрицу со следующими компонентами:
|
(2.27) |
где - скалярные передаточные функции, которые представляют собой отношение выходной величины к входной в символической форме при нулевых начальных условиях
Собственными передаточными функциями i-го канала называются компоненты передаточной матрицы , которые находятся на главной диагонали. Составляющие, расположенные выше или ниже главной диагонали, называются передаточными функциями перекрестных связей между каналами.
Обратная матрица находится по выражению
|
(2.28) |
где - присоединенная матрица. Как следует из (2.28), все скалярные передаточные функции, которые являются элементами передаточной матрицы (2.27), содержат одинаковый знаменатель - det(pI-A). Он называется характеристическим полиномом и имеет n-ый порядок.
Если теперь характеристический полином приравнять нулю, то получим характеристическое уравнение системы,
A(p) = det(pI-A) = 0. |
(2.29) |
Пример 2.6.
Определить передаточную матрицу для объекта
где
Воспользуемся выражением для передаточной матрицы (2.27) и найдем предварительно обратную матрицу (2.29). Здесь
Транспонированная матрица имеет вид
a det(pI-A) = p -2p+1, .
где - транспонированная матрица. В результате получим следующую обратную матрицу:
и передаточную матрицу объекта
Чаще всего передаточные функции применяются для описания одноканальных систем вида
|
(2.30) |
Используя оператор дифференцирования, запишем уравнение (2.30) в символической форме и найдем передаточную функцию как отношение выходной величины к входной:
, |
(2.31) |
где - характеристический полином.
Передаточные функции принято записывать в стандартной форме:
, |
(2.32) |
где - коэффициент передачи;
Передаточную матрицу (передаточную функцию) можно также определить с помощью изображений Лапласа или Карсона-Хевисайда. Если подвергнуть одному из этих преобразований обе части дифференциального уравнения и найти соотношения между входными и выходными величинами при нулевых начальных условиях, то получим ту же самую передаточную матрицу (2.26) или функцию (2.31).
Для того, чтобы в дальнейшем различать преобразования дифференциальных уравнений, будем использовать следующие обозначения:
- оператор дифференцирования;
- оператор преобразования Лапласа.
Получив одну из динамических характеристик объекта, можно определить все остальные. Переход от дифференциальных уравнений к передаточным функциям и обратно осуществляется с помощью оператора дифференцирования p.
Рассмотрим взаимосвязь между переходными характеристиками и передаточной функцией. Выходная переменная находится через импульсную функцию в соответствии с выражением (2.10),
Подвергнем его преобразованию Лапласа,
,
и получим y(s) = g(s)u(s). Отсюда определим импульсную функцию:
|
(2.33) |
Таким образом, передаточная функция - есть преобразование по Лапласу от импульсной функции.
Пример 2.7.
Определить передаточную функцию объекта, дифференциальное уравнение которого имеет вид
Используя оператор дифференцирования d/dt = p, запишем уравнение объекта в символической форме
на основании которого определим искомую передаточную функцию объекта