1 Геометрическая интерпретация и графический метод решения злп

ВВЕДЕНИЕ

Геометрическая интерпретация экономических задач дает возможность наглядно представить, их структуру, выявить особенности и открывает пути исследования бо­лее сложных свойств. ЗЛП с двумя переменными всегда можно решить графически. Однако уже в трехмерном пространстве такое решение усложняется, а в простран­ствах, размерность которых больше трех, графическое решение, вообще говоря, невозможно. Случай двух переменных не имеет особого практиче­ского значения, однако его рассмотрение проясняет свой­ства ОЗЛП, приводит к идее ее решения, делает геомет­рически наглядными способы решения и пути их практи­ческой реализации.

1.1 Цель

Усвоить алгоритм решения задач линейного программирования графическим методом.

1.2 Задачи

Приобрести навыки составления простейших математических моделей, решить их графическим методом задачи, провести анализ решения.

1.3 Алгоритм решения

1. С учетом системы ограничений строим область до­пустимых решений

2. Строим вектор наискорейшего возра­стания целевой функции — вектор градиентного направ­ления.

3. Проводим произвольную линию уровня

4. При решении задачи на максимум перемещаем ли­нию уровня в направлении вектора так, чтобы она касалась области допустимых решений в ее крайнем по­ложении (крайней точке). В случае решения задачи на минимум линию уровня перемещают в антиградиентном направлении

5. Определяем оптимальный план и экстре­мальное значение целевой функции .

1.4 Пример решения задачи

Гражданин, отделившийся от сельскохозяйственного предприятия, решил заняться фермерским хозяйством, средняя доля по району составила 6 гектар. В долевую собственность вошло две семьи из 13 человек (13*6 = 78) итого в собственность они получили 78 га и решил взять в аренду ещё 290 га. Итого, в общем, площадь составила 368 га.

Комиссия предложило целевое направление, выслушав мнение будущего фермера, выращивание овощной продукции, как капуста и морковь.

У гражданина имеется в наличии 5 тыс. чел/час трудовых ресурсов, 1100 кг действующего вещества удобрений.

Капуста и морковь характеризуются такими показателями, как:

- затраты труда на обработку 1 га капусты 11 чел/час, моркови - 9 чел/час;

- затраты удобрений на обработку 1 га капусты 4 кг.д.в., моркови – 5 кг.д.в.

- урожайность капусты составляет 260 ц/га, моркови - 196 ц/га.

Выход продукции в рублях: капуста 182000 руб с га, морковь 117600 руб с га.

Урожайность составляет: капуста 260 ц, морковь 196 ц.

С учётом севооборота морковью занять не менее 75 га. Капусту требуется получить по условию контракта не менее 23000 ц. Найти оптимальное сочетание этих двух культур.

Решение

Экономико-математическая модель:

Переменные:

Х₁ – площадь под капусту, га;

Х₂ – площадь под морковь, га.

Ограничения:

1. По использованию пашни, га: Х₁ + Х₂ ≤ 368.

2. По использованию и наличию трудовых ресурсов, чел/час: 11Х₁ + 9Х₂ ≤ 5000.

3. По использованию и наличию удобрений, кг.д.в.: 4Х₁ + 5Х₂ ≤ 1100.

4. По площади под морковь, га: Х2 ≥ 75.

5. Ограничения по производству капусты, ц: 260Х₁ ≥ 23000

Условие неотрицательности: Х₁ ≥ 0 и Х₂ ≥ 0.

Целевая функция: Z = 182000Х₁ + 117600Х₂ => max.