3.2. Определение среднего числа замен машин за заданное время

Чтобы определить среднее число замен (математическое ожидание этого числа) за заданное время t, нужно рассчитать значение ведущей функции для этого момента времени.

Из выражения (3) в частном случае нормального распределения срока службы можно получить

(t)= F_i(t)= , (17)

где Φ(z)= exp(- )dx.

F(z) – интегральная функция стандартного (m=0, s=1) нормального распределения, т.е. специальная функция, называемая также «интеграл вероятностей», для которой существуют таблицы.

Если в таблице даны значения функции только для положительного аргумента, значения функции для отрицательного аргумента можно найти по формуле

Φ(-z)=1-Φ(z) (18)

Иногда в таблицах приводят значения функции

Φ₀(z)= exp(- )dx (19)

или функции ошибок

erf(z)= exp(-x²)dx (20)

Тогда значения функции Φ(z) можно получить с помощью таблиц значений этих функций следующим образом

Φ(z)=0,5+Φ₀(z) (21)

Φ(z)=0,5[1+erf( )] (22)

Эти функции даются в таблицах для положительных значений аргумента, а для отрицательных значений используется их свойство нечетности

Φ₀(-z)=-Φ₀(z); erf(-z)=-erf(z) (23)

Значение ведущей функции (t) дает среднее число замен на одном машино-месте в парке. Чтобы получить среднее число замен для всего парка нужно умножить это значение на N - число машин в парке.

H(t)=N (t) (24)

3.3. Определение среднего числа замен машин на заданном интервале времени

Среднее число замен на интервале (a₁, b₁) можно определить по функции параметр потока замен ω(t). Используя выражения (4), (6), получим

(a₁, b₁)= ω(x)dx- ω(x)dx= ω(x)dx (25)

Графически последний интеграл соответствует площади под кривой ω(t) на интервале (a₁, b₁).

Этот интеграл можно определять численными методами, пользуясь рассчитанными значениями функции ω(t).

Если использовать линейную аппроксимацию функции ω(t), то она заменяется ломаной линией, полученной из отрезков прямых, соединяющих все ее соседние значения. Тогда площадь под кривой равна сумме площадей трапеций на каждом интервале между соседними значениями. Площадь каждой трапеции будет

0,5h(ω_k+ω_k+1), (26)

где

ω_j=ω(x_j);

x_j - значения аргумента, для которых рассчитаны значения функции;

h - шаг, с которым рассчитаны значения ω_j.

Просуммировав эти площади, получим

( a₁, b₁)=h[0,5(ω₁+ω_n)+ ] (27)

где

x₁=a₁ – нижняя граница интервала интегрирования;

x_n=b₁ – верхняя граница интервала интегрирования.

3.4. Определение среднего числа замен машин в установившемся режиме

С увеличением времени, прошедшего с начала работы парка, колебания значений функции ω(t) затухают и при больших значениях времени, когда прошло большое количество замен, становятся настолько малыми, что ими можно пренебречь, т.е. считать режим замен установившимся. Тогда для расчета среднего числа замен можно использовать предельное значение _П, к которому стремятся значения функции ω(t). В соответствии с (9)

_П = (28)

Определить начало установившегося режима можно по графику функции ω(t), задав значение максимально допустимого отклонения от предельного значения и определив момент времени, начиная с которого эти отклонения вниз или вверх становятся меньше заданных.

Среднее число замен на интервале (a₂,b₂) в установившемся режиме будет определяться площадью прямоугольника

( a₂, b₂)=_П(b₂-a₂)= (29)

В случае нормального распределения математическое ожидание срока службы машины t_ср=.