- •Частина 2 векторні простори § 12. Вступні зауваження
- •§ 13. Поняття вектора, означення векторного простору
- •§ 14. Приклади векторних просторів
- •§ 15. Найважливіші наслідки з означення векторного простору
- •2.19. Наслідок.
- •2.20. Наслідок.
- •§ 16. Лінійно залежні та лінійно незалежні вектори
- •§ 17. Приклади лінійно залежних та лінійно незалежних векторів
- •§ 18. Властивості лінійно залежних і лінійно незалежних векторів
- •§ 19. Вимірність векторного простору
- •§ 20. Базис у скінченновимірному векторному просторі
- •§ 21. Координати вектора
- •§ 22. Основні властивості координат вектора
- •§ 23. Заміна базису
- •§ 24. Приклади застосування методу координат у фізиці
- •· Механіка
- •· Електродинаміка
- •· Квантова теорія
§ 18. Властивості лінійно залежних і лінійно незалежних векторів
2.34. Властивість. Критерій лінійної залежності векторів: для того, щоб вектори системи були лінійно залежними, необхідно й достатньо, щоб хоч один із векторів системи був лінійною комбінацією інших.
& Необхідність. Нехай вектори лінійно залежні. Тоді існує нетривіальна лінійна комбінація цих векторів, яка дорівнює нульовому вектору: Вектори сукупності завжди можна пронумерувати таким чином, що Тоді
Достатність. Не зменшуючи загальності, будемо вважати, що У такому разі існує нетривіальна лінійна комбінація, яка дорівнює нульовому вектору.%
2.35. Властивість. Якщо до системи векторів входить нульовий вектор, ці вектори лінійно залежні.
& Не зменшуючи загальності, вважатимемо, що Тоді існує нетривіальна лінійна комбінація, яка дорівнює нульовому вектору:
%
2.36. Властивість1. Якщо будь-яка підсистема векторів системи лінійно залежна, то і вся система лінійно залежна.
& Не зменшуючи загальності, вважатимемо, що вектори лінійно залежної підсистеми мають номери від 1 до Тоді існує нетривіальна лінійна комбінація векторів підсистеми Побудуємо нетривіальну лінійну комбінацію векторів усієї системи, яка дорівнює нульовому вектору:
Існування цієї лінійної комбінації доводить наведене твердження.%
2.37. Властивість. Будь-яка підсистема векторів лінійно незалежної системи сама є лінійно незалежною.
& Припустимо протилежне. Тоді, згідно з властивістю 2.36, система є лінійно залежною, усупереч вихідній умові.%
§ 19. Вимірність векторного простору
2.38. Означення. Під вимірністю векторного простору будемо розуміти максимальну кількість лінійно незалежних векторів, які можна знайти в цьому просторі.
Іншими словами, у n-вимірному просторі обов'язково існують системи n лінійно незалежних векторів, а будь-які векторів – лінійно залежні.
Дуже важливим (у т. ч. для теоретичної фізики) є випадок, коли векторний простір має нескінченну вимірність. Це означає, що коли можливо знайти в такому просторі систему N лінійно незалежних векторів, у ньому завжди знайдеться вектор, який не буде лінійною комбінацією векторів цієї системи. На щастя, знання та навички, здобуті при вивченні просторів скінченної вимірності, дозволяють успішно розв'язувати й задачі, у яких використовується поняття нескінченновимірного простору. Тому надалі будемо здебільшого розглядати векторні простори скінченної вимірності n і позначати їх .
2.39. Приклад. У нульовому просторі немає лінійно незалежних векторів (див. приклад 2.30), тому умовно вважають, що вимірність нульового простору дорівнює нулю.
2.40. Приклад. Множина всіх геометричних векторів на прямій лінії є одновимірним простором. Усі геометричні вектори на площині утворюють двовимірний простір. Множина всіх геометричних векторів, що вивчаються у шкільному курсі стереометрії, є тривимірним простором.
2.41. Приклад. Простір матриць порядку (див. приклад 2.10) має вимірність n і називається n-вимірним арифметичним простором.
& Це буде доведено при розгляді прикладу 2.45.%
2.42. Приклад. Простір функцій однієї змінної x, означених і неперервних на відрізку , є нескінченновимірним векторним простором.
& Щоб упевнитися в цьому, розглянемо систему степеневих функцій N – будь-яке додатне ціле число1. Лінійна комбінація цих функцій (векторів) є поліномом
Нульовим вектором у просторі поліномів є поліном, усі коефіцієнти якого дорівнюють нулю (див. приклад 2.12), і іншого нульового вектора немає (наслідок 2.15). Отже, жодна з нетривіальних лінійних комбінацій не дорівнює нулю, а тому система функцій лінійно незалежна. Таким чином, вимірність простору функцій однієї змінної x, означених і неперервних на відрізку , перевищує будь-яке число N, тобто є нескінченною.