§ 15. Найважливіші наслідки з означення векторного простору

2.15. Наслідок. У векторному просторі існує лише один нульовий вектор.

& Доведемо це твердження від оберненого. Нехай існують два нульових вектори 0₁ та 0_2, тоді

%

(У фігурних дужках вказано номери аксіом п. III означення 2.1, на підставі яких здійснюються алгебраїчні перетворення).

2.16. Наслідок. Для кожного вектора у векторному просторі існує лише один протилежний.

& Доводимо від оберненого. Нехай існують два протилежні вектори та , тоді

%

2.17. Наслідок. Нульовий вектор є протилежним до самого себе.

& Цей наслідок випливає з рівностей (див. ) і (див. ).%

2.18. Наслідок. Вектором, протилежним до , є вектор x.

& Справедливість даного твердження випливає з рівностей:

%

2.19. Наслідок.

& Доведення:

%

2.20. Наслідок.

& Доведення:

%

2.21. Наслідок. (Доведення читачеві корисно провести самостійно).

2.22. Наслідок. тоді й лише тоді, коли хоча б один зі співмножників у лівій частині рівності дорівнює нулю.

& Цей наслідок випливає з наслідків 2.19 та 2.21.%

§ 16. Лінійно залежні та лінійно незалежні вектори

Розглянемо систему (сукупність) векторів, що належать до лінійного простору :

2.23. Означення. Оскільки в просторі означені лінійні операції , тому визначеною величиною

яку називають лінійною комбінацією векторів системи .

Верхній індекс, що нумерує коефіцієнти лінійної комбінації , не треба плутати з показником степеня. Індекс, який зустрічається в деякому математичному виразі двічі (один раз – зверху, а другий – знизу) називають німим. Існує домовленість, згідно з якою навіть за відсутності символу суми за значеннями німого індексу виконується підсумовування. Цю домовленість називають домовленістю Ейн­штейна. Величина суми не залежить від того, якою літерою позначено німий індекс, чим і пояснюється його назва.

2.24. Означення. Лінійна комбінація системи векторів називається тривіальною, якщо всі її коефіцієнти дорівнюють нулю.

2.25. Зауваження. Із наслідку 2.19 випливає, що тривіальна лінійна комбінація дорівнює нульовому вектору.

2.26. Означення. Вектори системи називаються лінійно залежними, якщо існує нетривіальна лінійна комбінація цих векторів, рівна нульовому вектору.

2.27. Зауваження. У математичній літературі часто зустрічається еквівалентна форма означення лінійної залежності: вектори називають лінійно залежними, коли та

2.28. Означення. Вектори системи називаються лінійно незалежними, якщо лише тривіальна лінійна комбінація цих векторів дорівнює нульовому вектору.

2.29. Зауваження. Існує еквівалентна форма означення лінійної незалежності: вектори називаються лінійно незалежними, якщо з рівності випливає, що

§ 17. Приклади лінійно залежних та лінійно незалежних векторів

2.30. Приклад. Нульовий вектор утворює систему лінійно залежних векторів

& Щоб упевнитися в цьому, досить утворити хоча б одну нетривіальну лінійну комбінацію, яка дорівнює нулю. Такою комбінацією є %

2.31. Приклад. Вектор утворює систему лінійно незалежних векторів

& Будь-яка лінійна комбінація векторів має вигляд Оскільки з умови лінійної залежності випливає, що Отже, єдина нульова лінійна комбінація векторів – тривіальна.%

2.32. Приклад. Два колінеарні геометричні вектори утворюють систему лінійно залежних векторів

& Зі шкільного курсу геометрії відомо, що колінеарні вектори завжди пов'язані між собою рівністю причому коли вектори напрямлені в один бік і коли вони напрямлені в різні боки (нульовий вектор не має певного напрямку). Переписавши рівність у вигляді переконуємося в тому, що існує нетривіальна лінійна комбінація векторів системи.%

2.33. Приклад. Два неколінеарні геометричні вектори утворюють систему лінійно незалежних векторів

& Припустимо протилежне: нехай вектори системи лінійно залежні. Тоді існує нетривіальна лінійна комбінація Оскільки один із коефіцієнтів (для визначеності ) не дорівнює нулю, вектори системи пов'язані рівністю з якої випливає, що вони колінеарні, усупереч вихідному припущенню.%