Характеристики формы

Полный набор характеристик дискретной случайной величины представляют моменты распределения: m₁ = M(x), m₂ = M(x²), m₃ = M(x³), m₄ = M(x⁴). Заметим, что момент 1-го порядка есть основная характеристика положения – математическое ожидание m₁ = M(x) = а. Кроме этого, введены центральные моменты распределения: ₁ = M(x – а), ₂ = M(x – а)², ₃ = M(x – а)³, ₄ = M(x – а)⁴. Первый центральный момент всегда равен нулю (это будет показано далее); второй центральный момент есть основная характеристика разброса – дисперсия ₂ = M(x – а)² = (_х)² . Моменты 2-го и 4-го порядков имеют размерности куба и четвертой степени от размера исходной величины, поэтому используют еще безразмерные нормированные или стандартизированные моменты распределения: , . Нормированный момент 3-го порядка называется коэффициентом асимметрии; если А = 0 – распределение симметричное, при А > 0 – скошено влево, при А < 0 – скошено вправо. Нормированный момент 4-го порядка называется коэффициентом плосковершинности, или игольчатости, или же коэффициентом эксцесса. Если ₄ = 3, форма полигона распределения будет "нормальная", при ₄ < 3 – приплюснутая (плосковершинная), при ₄ > 3 – игольчатая. Заметим, что в отечественной литературе принято вычитать тройку из 4-го нормированного момента Е = ₄ – 3, тогда нормальной форме соответствует Е = 0, плосковершинности – Е < 0, игольчатости – Е > 0. Наличие игольчатости трактуется как результат смеси двух случайных величин с разными дисперсиями (смесь продукции мастера и ученика).

Свойства математического ожидания

Знание свойств характеристик позволяет значительно облегчить процесс их вычисления.

1. Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной. Вариант: среднее значение постоянной равно самой постоянной.

Действительно, если x_i = C, то М(х) = x_i р_i = С р_i = Ср_i = С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания. Вариант: постоянный множитель можно выносить за знак среднего.

Действительно, М(kх) = kx_i р_i = kx_i р_i = kМ(х).

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий. Вариант: среднее суммы равно сумме средних.

Пусть x_i – значения случайной величины X – появляются с вероятностя­ми , а y_j – значения случайной величины Y – появляются с вероятностями . Составим ряд распределения суммы случайных величин Z = X + Y. Всевозможные значения сумм z_ij = (x_i + y_j) появляются с вероятностями . Покажем, что сумма этих вероятностей равна единице.

П усть события У₁ , У₂ , У₃ составляют полную группу несовместных событий. Тогда из рис. 3.2 следует р(ХУ₁) + р(ХУ₂) + р(ХУ₂) = р(Х). Учитывая это, получаем: .

Можно изменить порядок суммирования:

.

Теперь вычислим математическое ожидание суммы случайных величин и покажем, что оно равно сумме математических ожиданий:

.

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Пусть x_i – значения случайной величины X – появляются с вероятностя­ми p_i , а y_j – значения случайной величины Y – появляются с вероятностями q_j . Составим ряд распределения произведения случайных величин Z = XY. Всевозможные значения произведений z_ij = x_i y_j независимых случайных величин появляются с вероятностями p_i q_j . Нетрудно убедиться, что сумма этих вероятностей равна единице. Вычисляем математическое ожидание произведения и получаем: , что и требовалось доказать.

Приведем некоторые следствия доказанных выше утверждений.

Нулевое или центральное свойство математического ожидания: среднее значение отклонений всегда равно нулю (1-й центральный момент всегда равен нулю) ₁ = М(х – а) = 0, где а = М(х).

Действительно, согласно свойствам математического ожидания, М(х ‑ а) = М(х) – М(а) = а – а = 0.

Эквивалентная формула для вычисления дисперсии:

D(x) = М(х – а)² = M(x² – 2ax + a²) = M(x²) – 2aM(x) + M(a²) = = M(x²) – 2a² + a² = M(x²) – a² = M(x²) – (M(x))² .

Эта более удобная для расчетов формула читается так: "Дисперсия равна разности математического ожидания квадрата и квадрата математического ожидания случайной величины". Для примера с лотереей, где М(х) = 0,9, вычисляем М(х²) = 0² 0,5 + 1² 0,3 + 2² 0,15 + 5² 0,04 + 10² 0,01 = 2,9; D(x) =  = 2,9 + 0,9² = 2,09.

Таким же способом можно выразить остальные центральные моменты через нецентральные, например, ₃ = m³ – 3m₁m² + 2(m₁)³ .