Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте закон больших чисел.

2. Сформулируйте центральную предельную теорему.

3. Как найти закон распределения суммы случайных величин?

4. Как найти закон распределения функции дискретного случайного аргумента?

5. Как вычисляются основные числовые характеристики дискретного случайного аргумента?

6. Приведите формулу для плотности вероятности функции непрерыв­ного случайного аргумента.

7. Как вычисляются основные числовые характеристики непрерывного случайного аргумента?

8. Что означает "композиция" законов распределений?

9. Что такое "свертка" распределений?

9. К чему приводит композиция двух нормальных распределений?

10. Что значит "устойчивый закон распределения"? Приведите примеры.

11. Что такое "логнормальный закон распределения"?

Лекция 8. Система случайных величин

До сих пор рассматривались случайные величины, возможные значения которой определялись одним числом. Такие величины называются одномерными. Однако часто результат опыта описывается несколькими случайными величинами, которые образуют комплекс или систему. Например, координаты точки попадания при стрельбе определяются двумя числами (абсциссой и ординатой); состояние газа описываются тремя показателями (давление, температура, удельный объем). Такие комплексные случайные величины называются двумерными, трехмерными и т.д. по числу компонент системы. В общем случае недостаточно изучить отдельно распределения каждой компоненты, поскольку между компонентами могут быть взаимные связи.

Геометрически систему нескольких случайных величин можно представить как случайную точку в многомерном пространстве.

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины

В дискретном случае двумерное распределение (X, Y) можно задать двумерной таблицей, в которой для каждой пары возможных значений (х_i , y_j) поставлена в сответствие вероятность p_ij появления такой комбинации.

Y	X						p(y)
	x1	x1	…	xi	…	xn
y1	p11	p12	…	pi1	…	pn1	p(y1)
y2	p21	p22	…	pi2	…	pn2	p(y2)
…	…	…	…	…	…	…	…
yj	p1j	p2j	…	pij	…	pnj	p(yj)
…	…	…	…	…	…	…	…
yk	p1k	p2k	…	pik	..	pnk	p(yk)
p(x)	p(x1)	p(x2)	…	p(xi)	…	p(xn)	1

Первая строка таблицы содержит всевозможные значения компо­ненты X, а первый столбец –компоненты Y. В последней строке и последнем столбце вычислены суммы вероятностей p_ij по столбцам и строкам. Так как все комбинации (х_i , y_j) образуют полную группу несовместных событий, то общая сумма вероятностей p_ij = 1. Поскольку отдельно все значения y_j также образуют полную группу несовместных событий, то суммы вероятностей p_ij по столбцам равны полным вероятностям событий (X = x_i); Следовательно, первая и последняя строки таблицы представляют собой ряд распределения X. Аналогично, первый и последний столбец таблицы представляют собой ряд распределения Y. Так как, согласно теореме умножения вероятностей, p_ij = P(X = x_i , Y = y_j) = p(x_i)p(y_j | x_i) = p(y_j)p(x_i | y_j), то можно составить ряды условных распределений p(y_j | x_i) = p_ij / p(x_i) и p(x_i | y_j) = p_ij / p(y_j). Иными словами, столбцы таблицы пропорциональны условным вероятностям p(y_j | x_i), а строки – p(x_i | y_j). Для независимых случайных величин p_ij = p(x_i)p(y_j) и распределения во всех параллельных рядах таблицы будут одинаковыми: p(y_j | x_i) = p(y_j); p(x_i | y_j) = p(x_i).