Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте теорему умножения вероятностей для независимых событий.

2. Сформулируйте теорему умножения вероятностей в общем виде.

3. Поясните, что такое "условная вероятность".

4. Изложите краткую классификацию событий.

5. Сформулируйте теорему сложения вероятностей для случая двух событий.

6. Сформулируйте теорему о полной вероятности.

7. Объясните смысл формулы Байеса.

8. Как составить полную группу несовместных событий 2  2  2?

9. Как составить полную группу несовместных событий при испытаниях до первого успеха?

10. Как найти вероятность хотя бы одного успеха?

11. Приведите и объясните формулу Бернулли.

12. Сформулируйте принцип невозможности редких событий.

Лекция 3. Случайные величины

"Случайная величина" есть очередное неопределяемое понятие, которое только демонстрируется на примерах. Так, известно, что при бросании игральной кости появляется одно из событий I, II, III, IV, V, VI. Но можно сказать и по-другому: "Число выпадающих очков есть случайная величина, которая может принимать одно из значений 1, 2, 3, 4, 5, 6".

Обычно принято обозначать случайную величину прописными рукописными буквами, например, X (или греческими, например, ), а ее значения – строчными латинскими буквами х₁ , х₂ , х₃ и т.д.

Если все возможные значения случайной величины можно заранее перечислить, то такую случайную величину называют дискретной.

Если же возможные значения заполняют сплошь некоторый интервал, то такую случайную величину называют непрерывной (в математике есть строгое определение непрерывной функции, на основе этого можно сформулировать строгое определения непрерывной случайной величины).

Все возможные значения случайной величины составляют полную группу несовместных событий.

Некоторые значения случайной величины появляются чаще других, некоторые значения появляются очень редко. Иными словами, разные значения случайной величины появляются с разной вероятностью.

Соответствие между отдельными значениями случайной величины и вероятностью их появления (функциональную зависимость) называют законом распределения данной случайной величины.

Дискретная случайная величина

Для этого частного случая можно более просто изложить некоторые понятия, связанные со случайными величинами.

X	х1	х2	х3	…	хk
Вер.	p1	p2	p3	…	pk

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в табличной форме (в виде "ряда распределения"). Все значения случайной величины образуют полную группу несовместных событий, поэтому сумма их вероятностей должна равняться единице: p₁ + p₂ + p₃ … + p_k = 1.

В данном примере число возможных значений (k) – конечное. Бывают также дискретные случайные величины с бесконечным (но счетным) числом возможных значений.

X	1	2	3	4	…
Вер.	p	pq	pq2	pq3	…

Так, в схеме испытаний до первого успеха случайным является число испытаний.

Тут должна равняться единице бесконечная сумма вероятностей

.

З акон распределения может быть представлен графически, причем услови­лись для дискретной случайной величи­ны соединять отдельные точки (х_i , p_i) отрезками прямых. В результате появ­ляется полигон (многоугольник) вероят­ностей, который дает наглядную инфор­мацию об особенностях распределения. Так, на рис. 3.1 изображено двухвершин­ное распределение, из чего специалист делает вывод о неоднородности совокупности – здесь имеет место смесь двух случайных величин с разными характеристиками.