Теорема (формула) Байеса

Формула Байеса оценивает относительные вклады каждого члена в формуле полной вероятности.

Так, для случая 3-х гипотез относительные вклады будут равняться . Как их правильно обозначить?

Рассмотрим две эквивалентные формулы для расчета вероятности совместного появления двух событий А и Н_i : . Отсюда следует, что  .

Интерпретация для последней задачи с браком на конвейере: Сборщик обнаружил на конвейере бракованную деталь (произошло событие А). Какова вероятность, что эту деталь изготовил 1-й поставщик? 2-й поставщик? 3-й? Если эти вероятности существенно различаются, то для уменьшения брака на конвейере следует в первую очередь принять меры к уменьшению брака (наладка оборудования) у поставщика с наибольшим значением ; именно этот поставщик поставляет на конвейер наибольшее количество бракованных изделий. Далеко не всегда это поставщик с максимальной долей брака , т.к. такой поставщик может изготавливать небольшую партию деталей и в сумме давать на конвейер значительно меньше бракованных изделий по сравнению с другими поставщиками.

Теорема сложения вероятностей

Мы уже рассматривали эту теорему при изучении геометрического способа определения вероятностей: "Вероятность появления одного из событий равна сумме их в ероятностей минус вероятность их совместного появления" р_А+В = р_А + р_В – р_АВ .

Справедливость утверждения этой теоремы можно также установить и для классического способа определения вероятностей (рис. 2.4). Здесь общее количество элементарных исходов – n, из них в m исходах появляется признак А, в k исходах появляется признак В, в l исходах появляются совместно А и В.

Вероятности этих событий: p_A = ^m/_n , p_B = ^k/_n , p_AB = ^l/_n .

Нас интересует вероятность появления А или В, чему благоприятству­ют m исходов с признаком А и дополнительно (k – l) исходов с признаком В. Отсюда  , что и требовалось доказать.

Пример. Два стрелка с вероятностями поражения мишени р₁ = 0,8 и р₂ = 0,7 одновременно стреляют по бутылке. Какова вероятность, что бутылка будет разбита? Иными словами, какова вероятность того, что хотя бы один из стрелков попадет в цель?

Эту задачу мы уже рассматривали выше. Теперь решим ее с помощью теоремы сложения (и теоремы умножения):

р_А+В = р_А + р_В – р_АВ = 0,8 + 0,7 – 0,80,7 = 1,5 – 0,56 = 0,94.

К сожалению, формулировка теоремы сложения усложняется с увеличением числа событий. Так, для трех событий А, В, С формула будет выглядеть так: р_А+В+С = (р_А + р_В + р_С) – (р_АВ + р_АС + р_ВС) + р_АВС , а для четырех событий А, В, С, D еще сложнее:

р_А+В+С+D = (р_А + р_В + р_С + р_D) – (р_АВ + р_АС + р_АD + р_ВС + р_BD + р_СD) +

+ (р_АВС + р_АBD + р_АCD + р_BCD) – р_АBCD .

Освоив методику составления полной группы несовместных событий, можно никогда не пользоваться столь неудобными выражениями.

Принцип практической невозможности редких событий

Как уже указывалось выше, человек с детства усваивает некоторые правила поведения в этом мире, позволяющие ему выживать. Естественно, он может ошибаться, но разные ошибки приводят к разным последствиям. На основе многовекового опыта человек сформулировал для себя скептическое отношение к случайному появлению редких событий, которые могут произойти с вероятностью менее 5% . Мы готовы с интересом обсуждать эти редкие события, но только когда они не затрагивают наше благополучие. Если неожиданное неприятное событие происходит с нами, мы склонны искать виновника и, как правило, находим его. Так, игроки тут же определяют шулера, у которого при бросании с виду обычной игральной кости три раза выпала шестерка, т.к. вероятность этого события менее 0,5% . Считается, что при бросках монеты герб не может случайно появиться 5 раз подряд, т.к. вероятность этого события менее 3%. Здесь многое зависит от терпимости индивида, поскольку надо выбирать между ошибкой "упустить виновного" и ошибкой "наказать невиновного". Однако уже в ГОСТ-е законодательно установлена нижняя граница терпимости 1% – если произошло событие с вероятностью менее 1% , оно не признается случайным и требуется искать причину.