Вопросы для самопроверки

1. Поясните, что такое "случайная величина", как она связана со случайными событиями.

2. Какая разница между дискретной и непрерывной величинами?

3. Что такое "закон распределения", как он задается?

4. Перечислите характеристики случайных величин.

5. Что такое "математическое ожидание", как оно вычисляется?

6. Что такое "дисперсия", как она вычисляется?

7. Что такое "среднее квадратическое отклонение"?

8. Перечислите свойства математического ожидания.

9. Перечислите свойства дисперсии.

10. Сформулируйте "нулевое" или "центральное" свойство математического ожидания.

11. Что такое "ковариация", чему она равна для независимых случайных величин?

12. Что такое "коэффициент ассиметрии" и "коэффициент эксцесса"?

13. Сформулируйте правило "3-х сигм".

14. Что такое "кумулята", где она применяется?

Лекция 4. Распределение Бернулли, Пуассона, Лапласа Распределение Бернулли

Другие эквивалентные названия этого распределения – биномиальное распределение или задача о повторении однородных независимых испытаний.

Швейцарские математики Иоганн и Якоб Бернулли доказали следующую формулу для расчета Р_n(m) – вероятности числа успехов (m) при n–кратном повторении однородных независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью р:

.

Д ействительно, представим себе фрагмент полной группы несовместных событий при n–кратном повторении однородных независимых испытаний, где появилось m успехов. Как обычно, появление успеха (события А) будем обозначать знаком "+", а не появление успеха (появление противоположного события ) – знаком "–".

Например, в одном из событий полной группы m успехов были получены в первых m испытаниях (знаки "+" в первых m позициях). Значит, в оставшихся (n – m) испытаниях успехов не было (знаки "–" в оставшихся n – m позициях). Поскольку вероятность успеха р в любом испытании одинакова, то, согласно теореме умножения, вероятность события, изображенного на рис. 4.1, равна произведению вероятностей p^mq^n–m , где q = 1 – p. Порядок появления m успехов (порядок сомножителей р и q) не изменяет произведения вероятноcтей. При повторении однородных независимых испытаний события полной группы с одинаковым числом успехов – равновероятны. Таких равновероятных событий в полной группе будет , т.к. число сочетаний показывает, сколькими способами можно разместить m плюсов (+) на n позициях. Согласно аксиоме сложения, при объдинении несовмесных событий их вероятности складываются, откуда и следует формума Бернулли: .

Можно составить ряд распределения случайной величины X = m – числа успехов в n однородных независимых испытаниях:

X = m	0	1	2	3	…	n
Вер.	Pn(0)	Pn(1)	Pn(2)	Pn(3)	…	Pn(n)

Это распределение зависит от 2-х параметров – р и n .

Ниже на рис. 4.2 приведены типичные полигоны распределения Бернулли при различных значениях параметров.

Рис. 4.2. Вид распределения Бернулли при различных значениях параметров

При р = 0,5 распределение симметричное, при р < 0,5 – скошено влево, при р > 0,5 – скошено вправо. При увеличении n  форма распределения приближается к некоторому стандартному симметричному виду (независимо от значения параметра р).

Рассмотрим характеристики распределения Бернулли.

Прежде всего, надо убедиться, что при любых значениях параметров сумма вероятностей Р_n(m) равна единице. Действительно,

.

При суммировании вероятностей Р_n(m) появилась формула бинома Ньютона , поэтому распределение Бернулли называют также биномиальным. Коэффициенты в формуле Бернулли называются еще "биномиальными коэффициентами", они могут быть легко рассчитаны с помощью "треугольника Паскаля":