3.5. Среднее время пребывания потока в аппарате, как одна из основных характеристик кривых распределения. С- и f- кривые. Моменты с-кривой и их сущность.

Одной из основных характеристик кривой распределения является среднее время пребывания потока в аппарате,

. (3.6)

С учетом формул (3.4) – (3.6) получим

. (3.7)

Использование полученной функции отклика в натуральных значениях координат C_э(t) – t не всегда бывает удобным для расчетов, поэтому кривую отклика обычно приводят к безразмерному виду и называют С-кривой.

Здесь – безразмерное время,

; (3.8)

а – безразмерная концентрация,

, (3.9)

где – начальная концентрация индикатора в потоке,

, (3.10)

здесь – объем аппарата.

Среднее время пребывания потока в аппарате можно также представить в виде отношения объема аппарата V к объемному расходу потока,

. (3.11)

Установим связь между dR и C(). Для этого умножим и разделим правую часть уравнения (3.2) на и с учетом уравнений (3.8) – (3.11) получим

, (3.12)

где

. (3.13)

Таким образом

. (3.14)

Теперь найдем связь между . На основании уравнений (3.4 – 3.14) имеем

. (3.15)

Если построить экспериментальную кривую в нормированных координатах, то доля потока, пребывающего в аппарате в течение времени от 0 до , будет определяться по формуле

(3.16)

естественно, что

. (3.17)

Таким образом, С-кривая является характеристикой распределения элементов потока по времени их пребывания в аппарате.

Основными характеристиками распределения элементов потока по времени их пребывания в аппарате являются моменты С-кривой. В зависимости от начала отсчета случайной величины различают начальные и центральные моменты.

Начальные моменты. Общий вид начальных моментов

, (3.25)

где  – номер момента;

– нулевой момент – площадь под кривой,

; (3.26)

– первый момент характеризует среднее время пребывания или математическое ожидание случайной величины времени пребывания,

. (3.27)

Случайные величины, отсчитываемые от математического ожидания, называются центрированными. Моменты центрированной величины называются центральными.

Центральные моменты. Общий вид центральных моментов

. (3.28)

Нулевой и первый центральные моменты соответственно равны:

Второй центральный момент характеризует рассеяние случайной величины относительно среднего времени пребывания и называется дисперсией.

. (3.29)

Третий центральный момент характеризует асимметрию распределения.

. (3.30)

Четвертый центральный момент определяет островершинность распределения.

. (3.31)

3.6. С целью изучения динамики эвтрификации водоемов, загрязненных минеральными удобрениями, в пяти прудах моделировали размножение синезеленых водорослей в нелимитированных условиях. Полученные данные об изменении численности популяции водорослей в каждом пруду представлены в таблице 1.

Таблица 1

Время, час t Титр клеток водорослей, кл./мл

Пруд 1x1 Пруд 2 x2 Пруд 3x3 Пруд 4x4 Пруд 5x5

0 135 171 60 252 106

24 245 270 113 371 201

48 374 491 186 710 275

72 545 693 269 1088 451

96 839 1163 447 1772 689

120 1544 1788 796 2534 1304

144 2392 3460 1024 4842 2161

168 3433 4704 2131 6478 3386

192 6586 8526 3107 10429 5326

216 10129 13198 4351 19953 8928

На основе этих данных определить для популяции водорослей в каждом пруду значение удельной скорости размножения r (мальтузианского параметра) и период удвоения Т. Найти также соответствующие медианы по полученным выборкам г и Т.

Решение: Нелимитированный рост численности популяции описывается экспоненциальной функцией Мальтуса:

, (3)

где x₀ – начальная численность популяции, r – мальтузианский параметр, t – время (см. рис.1).

Рис.1. Экспоненциальная зависимость численности популяции от времени при условии нелимитированного роста

Для обработки экспериментальных данных используем логарифмическую форму этого уравнения:

(1.4)

С этой целью каждый элемент 2-6 столбцов необходимо разделить на соответствующий начальный элемент и взять натуральный логарифм этого отношения (см. таблицу 2).

Далее, для каждого пруда на основе таблицы 2 следует построить график, где по оси абсциcc откладывается время, а по оси ординат – соответствующее значение ln (xt/x0), как это показано на рис. 2. Экспериментальные данные должны сгруппироваться около прямой линии, тангенс угла которой и есть искомое значение мальтузианского параметра r .

Таблица 2

Время, час ln (x₁t/x10) ln (x₂t/x20) ln (x₃t/x30) ln (x₄t/x40) ln (x₅t/x50)

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

24,00 0,60 0,46 0,63 0,39 0,64

48,00 1,02 1,06 1,13 1,04 0,95

72,00 1,40 1,40 1,50 1,46 1,45

96,00 1,83 1,92 2,01 1,95 1,87

120,00 2,44 2,35 2,59 2,31 2,51

144,00 2,87 3,01 2,84 2,96 3,01

168,00 3,24 3,31 3,57 3,25 3,46

192,00 3,89 3,91 3,95 3,72 3,92

216,00 4,32 4,35 4,28 4,37 4,43

Рис. 2. Линеаризация экспоненциальной зависимости, представленной на рис.1, и определение мальтузианского параметра r .

Значение периода удвоения T находим по формуле:

(1.5)

Результаты обработки данных в этой задаче представлены в таблице 3.

Таблица 3

Пруд 1 Пруд 2 Пруд 3 Пруд 4 Пруд 5

r , час-1 0.0197 0.0201 0.0198 0.0198 0.0204

Т, час 35.19 34.48 35 35 33.98

Медиану определяем обычным способом как срединное значение в выборке:

Ме(r) = 0.0198 час-1, Ме(T) = 35 час.