Свойства обратной функции
Теорема 4 ( о монотонности и непрерывности)
Пусть
X
=
,
тогда
,
где
есть однозначная обратная функция на
множестве
,
т.е. всякая строго монотонная на интервале
функция имеет строго монотонную
непрерывную однозначную обратную.
Доказательство.
Покажем
методом от противного, что
( для случая строгого возрастания).
Предположим,
такие, что
<
и
=
.
Отсюда имеем
>
и
=
,
т.к.
,
,
.
Полученное противоречие и доказывает
строгое возрастание обратной функции
на множестве Y.
Аналогично
из строгого убывания функции
на
следует строго убывание ее обратной.
Докажем,
теперь по определению непрерывность
функции
на множестве
:
для
,
такое, что
удовлетворяющего неравенству
будем иметь
.
Пусть
,
а
столь мало, что
.
Тогда в силу строгого возрастания
функции
на
число
наим.
удовлетворяет всем требованиям указанного
определения непрерывности.
Действительно,
пусть
,
тогда
,
т.е.
и т.к.
- возрастает строго, то
,
т.е.
.
Значит, из того, что
следует , что
.
Теорема доказана.
Замечание.
На самом деле доказана теорема: если - строго возрастает на множестве и множество значений ее – интервал , то - непрерывна на . Это есть некоторый признак непрерывности строго монотонной функции.