4.3.2. Исследование влияния автомата контроля и коммутации

на эффективность резервирования замещением

При наличии автомата контроля и коммутации структурная схема резервиро­ванной системы с кратностью т = 1 будет выглядеть так, как показано на рис. 1.3.

Рис. 1.3. Структурная схема резервированной системы с автоматом контроля и коммутации

На рис. 1.3 приняты следующие обозначения:

- 1,2 — основная и резервная системы соответственно;

- АКК — автомат контроля и коммутаций;

- λ , , —интенсивности отказа системы и автомата соответственно.

Вероятность безотказной работы системы Р_с(t) можно представить в сле­дующем виде:

P_c (t) = P(t) + Q'(τ) P₁(τ)P(t - τ)d τ, (1.4)

где:

- τ — момент времени отказа основной системы;

- P(t) — вероятность безотказной работы основной системы в течение вре­мени t;

- P(t - τ)— вероятность безотказной работы резервной системы в течение времени (t – τ), т. е. с момента замещения до t;

- P₁(τ)— вероятность безотказной работы автомата контроля и коммутации в течение времени τ , т. е. до момента отказа основной системы;

- Q'(τ) — производная от вероятности отказа основной системы в момент τ .

При λ = const выражения для составляющих в формуле (1.4) имеют вид:

P(t) = ; P(t - τ)= ;

Q(τ)= 1 - ; P₁(τ) = . (1.5)

Получим расчетные формулы с помощью Derive 6. Решение получим в такой последовательности выполнения команд:

- ввести правые части выражений (1.5); пусть этим выражениям присвоены

номера: #1, #2, #3 и #4;

- получить производную от Q(t) с помощью кнопки Find Derivative панели

инструментов (пусть производной присвоен #5);

- образовать интеграл от последнего выражения с помощью кнопки Find Integral, не вычисляя первообразной (пусть интегралу присвоен #6);

- ввести выражение #6 * #2 * #4;

- ввести выражение #1 + #8;

- получить решение для P_c (t) с помощью кнопки Simplify или Approximate.

Интегрируя P_c (t) от 0 до ∞ с помощью кнопки Find Integral, получим фор­мулу для среднего времени безотказной работы системы. При этом следует иметь в виду, что интеграл от P_c(t) существует лишь при условии, что λ и (в программе ) действительны и положительны. Установим с помощью меню Variable Domain эти значения и проинтегрируем P_c (t). Процедуры получения формул на экране монитора имеют вид:

На рис. 1.4 приведены графики P_c(t) для случая λ = 0,1 и = 0,01 ; 0,1; 0,2.

Рис. 1.4. Зависимость P_c(t) с учетом автомата контроля и коммутации при различных значениях

Из графиков видно, что автомат контроля и коммутации снижает вероятность безотказной работы резервированной системы.

Проанализируйте полученные формулы для P_c(t) и T₁ и сделайте выводы о целесообразности резервирования замещением. Установите, при каком соот­ношении λ и резервирование замещением менее эффективно, чем резер­вирование с постоянно включенным резервом, объясните ваши выводы фи­зическими соображениями. Обратите внимание, что при λ = среднее время безотказной работы системы равно среднему времени безотказной работы дублированной системы с постоянно включенным резервом. Вычислите выражение (1.4) "вручную" и убедитесь, что формулы, полученные с помощью Derive, верны.