4.2 Нерівність Чебишова

Ця нерівність використовується для оцінки верхньої або нижньої границі ймовірності, коли ЗРВВ невідомий. Ця нерівність використовується для доведення граничної теореми.

Якщо випадкова величина Х має обмежені m_x та D_x, то для будь-якого малого числа >0 виконується наступне:

Таким чином, практичне значення нерівності Чебишова несуттєве (часто воно дає грубу оцінку ймовірності), а теоретичне значення досить суттєве.

За допомогою цієї нерівності ми можемо оцінити ймовірність попадання в інтервал ВВх

4.3 Теорема Чебишова

Нехай - попарно незалежні ВВ з обмеженими матматичними сподіваннями та дисперсіями , що не перевищують деяку константу С. Тоді для будь-якого малого числа >0 виконується наступне:

4.4 Теорема Бернулі (стійкість відносних частот)

Якщо в будь-якому з n незалежних випробувань подія А може мати місце з постійною ймовірністю р, то для будь-якого малого числа >0 виконується наступне:

де р^* - частота події А.

4.5 Теорема Ляпунова (центральна гранична)

Нехай - попарно незалежні випадкові величини (n). Розглянемо ВВ . Якщо вплив будь-якої ВВ Х_i на суму Y нескінченно малий, то ВВ Y має розподіл, близький до нормального.

Тема 1. 5 Невипадкові функції випадкового аргументу

5.1 Поняття про НФВА

Функцією ВАх наз. Вву, якщо в будь якому можливому значенні ВВх відповідає єдине можливе значення Вву

У=φ(х)

Основні задачі, пов’язані з ФВА:

-відомий ЗР аргумента Х .Знайти Зру

- відомий ЗР аргумента Х. Знайти числ.хар-ки У

- відомі числ.хар-ки Х. Знайти числ.хар-ки У

5.2 ФДВА

5.3 ФНВА

Задано ф-ю НВАу

У=φ(х)

Відома щільність розподілу НВВх (f(х))

g(у)-?

Якщо ф-ція у= φ(х) неперервна диференційовна і має обернену ф-ю х= ψ(у) на всій обл. Визначення, то щільність розподілу Вву обчислюється:

g(у)= f[ψ(y)] |ψ’(y)|

Якщо ф-ція розподілу У=φ(х) кусково монотонна на ОДЗ, то тоді формула g (у) має вигляд:

g(у)=Σ f[ψ(y)] |ψ’(y)|