1.8 Асимптотичні наближення формули Бернулі

Теорема Пуассона (р<0,1). Якщо в кожному із n повторних випробувань ймовірність р появи події А стала і мала (р<0,1), а число випробувань n досить велике, то ймовірність того, що подія А настане в цих випробуваннях рівно m разів, знаходиться за формулою

Відмітимо, що формула Пуассона використовується також для числа ненастання події А, якщо q<0,1, а nq невелике.

Локальна теорема Лапласа (p>0,1). Якщо ймовірність р появи випадкової події А в одному із n повторних випробувань залишається незмінною (причому 0<p<1), а число випробувань достатньо велике, то ймовірність того, що в n випробуваннях подія відбудеться m разів, знаходиться за наближеною формулою:

де - функція Гаусса,

Інтегральна теорема Лапласа. Якщо ймовірність того, що ВП А матиме місце в m випробувань від m₁ до m₂ разів, обчислюється за формулою:

де – інтегральна функція Лапласа,

При користування таблицею потрібно враховувати такі властивості функції Лапласа:

1) Ф(х) визначена для всіх х R;

2) Ф(х) непарна функція (Ф(-х)= -Ф(х));

3) Ф(х) монотонно зростає для всіх х R, при цьому y =–0,5 –лівостороння асимптота, а y =0,5 – правостороння;

4) швидкість зростання Ф(х) на проміжку [0; 5] дуже висока (зокрема Ф(5)=0,499997), тому для всіх х>5 з мізерною похибкою Ф(х)=0,5.

Формула повної ймовірності(переоцінка, якщо подія А ще не відбул).

Якщо в деякому випробуванні подія А може настати тільки за умови настання однієї з подій , які утворюють повну групу. Тоді ймовірність події А обчислюється за формулою повної ймовірності

,

де р(Н_і)-апостеріонарна (доіспитна) ймовірність гіпотези,

р(А/ Н_і ) – умовна ймовірність події А

Формула Байєса (якщо подія А відбулася, то виникає проблема з обчисл. умовної ймов. гіпотез):

,

де – післяіспитна (апостеріорна) ймовірність гіпотез.

Тема 1.2 Випадкові величини

2.1 Види вв.

Випадковою називають величину (ВВ), яка в результаті випробування може прийняти лише одне числове значення, заздалегідь невідоме і обумовлене випадковими причинами. Загальноприйняте позначення випадкових величин : великими літерами X, Y, Z, а їх можливих значень – відповідними малими літерами з індексами.

1. Дискретні випадкові величини можуть приймати тільки скінченну або зчисленну множину значень.

2. Неперервні випадкові величини можуть приймати будь-яке значення з деякого інтервалу.

2.2 Закони розподілу вв

ЗРВВ називають співвідношення, яке встановлює зв’язок між можливими значеннями випадкової величини і ймовірностями, з якими ці значення приймаються. Для дискретної випадкової величини ЗР зручно задавати у вигляді таблиці, яку називають рядом розподілу. Для наочності ряд розподілу зображують графічно: по осі абсцис відкладають значення випадкової величини, а по осі ординат – відповідні ймовірності, одержані точки з’єднують відрізками, в результаті одержують многокутник розподілу.