Тема 1.1. Випадкові події

1.1 Класифікація подій

Подія – це наслідок випробування. Випробування - реалізація певної сукупності умов, що може бути відтворена необмежене число разів. Події поділяються на випадкові, вірогідні та неможливі. Випадкова подія (А, В, С, …) – це подія, яка під час певного випробування може мати місце, а може не мати місця, але заздалегідь це не можливо передбачити. Вірогідна (U), яка в умовах даного випробування обов’язково матиме місце. Неможлива (V), яка в умовах даного випробування ніколи не матиме місця.

Події називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу інших в одному випробуванні. В протилежному випадку події називаються сумісними.

Рівноможливими подями назвемо , якщо будь-яка з них матиме місце в одному випробуванні з однаковими шансами. Випадкові події утворюють повну групу подій, якщо вони несумісні, але в результаті випробування одна з них обов’язково матиме місце. Протилежні події – 2 подіїї, які утворюють повну групу подій .

1. 2 Частота та ймовірність випадкової події

Частотою випадкової події А називають відношення кількості випробувань m, в яких подія А мала місце до загальної к-ті випробувань.

Коли к-ть експериментів стає досить великим(n), р* перестає бути вип.велич. і стабіл. біля числа ½.

Ймовірністю події А називається деяке число Р, до якого наближається відносна частота події А , якщо к-ть експериментів стає великим).

1.3 Аксіоми тй та наслідки з них

Аксіоматичне означення ймовірності – ймовірність події Ф називається число Р, яке задовольняє наступним аксіомам

1. 0≤р≤1 – умова позитивності

2. р(U)=1 – умова нормування

3. Якщо подія А та В несумісні, то ймовірність їх суми дорівнює сумі ймовірностей.

Наслідки з аксіоми Колмогорова

1. р(V)=0

2. - ПГП

Якщо події утворюють ПГП, то ймов. їх суми = 1

3. Теорема сумісних подій

Якщо події А і В сумісні, то виконується наступне Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(ВС)-Р(АС)+Р(АВС)

При обчисленні ймовірності суми сумісних подій завжди намагаються перейти до суми несумісних подій

А+В=А+ *В

Р (А+В)=Р(А+ *В)=Р(А)+Р( *В)

В=АВ+ *В

Р(В)=Р(АВ)+Р( *В)

Р(В)- Р(АВ)= Р(А+В)- Р(А) Р(А+В)= Р(В)+ Р(А)- Р(АВ)

1.4 Способи обчислення ймовірностей

1)Статистичний (коли дані черпаються з експерименту)

2) Класичний (випробування проводяться подумки, моделюються)

«схему урн»: а) к-ть елем.подій в експерименті скінченна або нескінченна, але численна; б) елем.події в випробуванні повинні складати ПГП

3) Геометричний (коли к-ть елем.подій є нескінчен. і незлічен.)

1.5 Задача про без повторну виборку

В урні N куль. З них M – білі. Навмання з урни виймають n куль. Яка ймовірність того, що серед них m – білі?

.

1.6 Залежні та незалежні ВП. Правила множення ймовірностей

Дві події А і В залежні, якщо ймовірність появи однієї з них залежить від того, що мала чи не мала місце інша подія в певному випробуванні. В протилежному випадку події називаються незалежними.

Для двох залежних подій А і В ймовірність їх добутку обчислюється за формулою , де – умовні ймовірності подій В та А відповідно.

Якщо події А і В незалежні, то .

1.7 Біноміальна схема (схема Бернулі)

На практиці часто зустрічаються випадки, коли проводиться не одне випробування, а декілька. Такі випробування називаються повторними, а їх сукупність – схемою повторних випробувань, або схемою Бернуллі. В кожному із таких випробувань може відбутися одна і та ж випадкова подія А. Якщо Р залишається незмінною для кожного випробування, то такі випробування будемо називати незалежними (відносно події А).

Ймовірність того, що в n повторних незалежних випробуваннях випадкова подія А відбудеться рівно m разів знаходиться за формулою Бернуллі:

,

де - число комбінацій, визначене формулою;

p – ймовірність появи події в одному випробуванні (р=Р(А));

q - ймовірність непояви події А в одному випробуванні